Bài toán chi tiết
Bài 1012
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1099
BẢN INCho \(\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}\) là các số thực không âm thỏa mãn \(\mathrm{ab}+\mathrm{bc}+\mathrm{ca}=3\).
Chứng minh rằng
\[ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{5 \sqrt{3}}{6}\]
Cách giải 1
Giả sử \(a=\operatorname{max}\{a, b, c\}\)
Đặt
\[ \left\{\begin{array}{l} x=b+c \\ y=a+\dfrac{b c}{b+c} \end{array}\right. \]
Ta có \(\quad x y=a b+b c+c a=3\)
\[ P=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{c+a} \]
Ta có đánh giá
\[ \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c} \geqslant \dfrac{1}{x+y}+\dfrac{1}{y} \quad(*) \]
Do \(\dfrac{1}{x+y}=\dfrac{1}{b+c+\dfrac{b c}{b+c}+a} \leqslant \dfrac{1}{a+b+c}\)
Nên để chứng minh \((*)\) ta cần chứng minh:
\[ \begin{aligned} & \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c} \geqslant \dfrac{1}{a+b+c}+\dfrac{b+c}{a b+b c+c a} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{1}{a+b}-\dfrac{1}{a+b+c} \geqslant \dfrac{b+c}{a b+b c+c a}-\dfrac{1}{a+c} \\ \Leftrightarrow & \dfrac{c}{(a+b)(a+b+c)} \geqslant \dfrac{a b+a c+b c+c^2-(a b+b c+c a)}{(a+c)(a b+b c+c a)}=\dfrac{c^2}{(a+c)(a b+b c+c a)} \\ \Leftrightarrow & (a+c)(a b+b c+c a) \geqslant c(a+b)(a+b+c) \\ \Leftrightarrow & (a+c)(a c+b c)+(a+c) a b \geqslant(a+c)(a c+b c)+b(a c+b c) \\ \Leftrightarrow & a^2 \geqslant b c \end{aligned} \]
Đúng, vậy ta có:
\[ P=\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a} \geq \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x+y} \]
Ta có:
\[ \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y} + \dfrac{1}{x+y} = \dfrac{3}{4}(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) + \dfrac{1}{4}(\dfrac{x+y}{xy} + \dfrac{1}{x+y}) \]
\[ \geq \dfrac{3}{2\sqrt{xy}} + \dfrac{1}{\sqrt{xy}} = \dfrac{5}{2\sqrt{xy}} = \dfrac{5\sqrt{3}}{6} \]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=\sqrt{3}, c=0\) và các hoán vị.
