Bài toán chi tiết

Bài 108 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 567 tháng 9 năm 2024)

09-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 113

Cách giải 1

Dễ thấy:

\[ \begin{aligned} 3 a^{2}-4 a b+3 b^{2} & =\frac{1}{2}(a+b)^{2}+\frac{5}{2}(a-b)^{2} \\ & \geq \frac{1}{2}(a+b)^{2} \end{aligned} \]

Suy ra: 

\[ \frac{a}{\sqrt{3 a^{2}-4 a b+3 b^{2}}} \leq \frac{\sqrt{2} a}{a+b} \]

Tương tự: 

\[ \frac{b}{\sqrt{3 b^{2}-4 b c+3 c^{2}}} \leq \frac{\sqrt{2} b}{b+c} \]

\[ \frac{c}{\sqrt{3 c^{2}-4 c a+3 a^{2}}} \leq \frac{\sqrt{2} c}{c+a} \]

Cộng vế với vế của ba bất đằng thức trên ta được:

\[ \begin{aligned} & \frac{a}{\sqrt{3 a^{2}-4 a b+3 b^{2}}}+\frac{b}{\sqrt{3 b^{2}-4 b c+3 c^{2}}} \\ & +\frac{c}{\sqrt{3 c^{2}-4 c a+3 a^{2}}} \\ & \leq \sqrt{2}\left(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}\right) . \end{aligned} \]

Mặt khác:

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}+\frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a}=3\] (1).

Mà 

\[ \frac{b}{a+b}+\frac{c}{b+c}+\frac{a}{c+a} \gt \frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{b+c+a}+\frac{a}{c+a+b}=1 \tag{2} \]

nên từ (1) và (2) suy ra:

\[ \frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a} \lt 2 \]

Vậy

\[ \begin{aligned} \frac{a}{\sqrt{3 a^{2}-4 a b+3 b^{2}}}+ & \frac{b}{\sqrt{3 b^{2}-4 b c+3 c^{2}}} \\ & +\frac{c}{\sqrt{3 c^{2}-4 c a+3 a^{2}}}<2 \sqrt{2} \end{aligned} \]

Bài toán được chứng minh.