Bài toán chi tiết
Cho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a+b+c= 3\). Chứng minh rằng: \[ \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c} \geq ab+bc+ca \]
| 1 cách giải | KiênĐC
Chú ý rằng ta có: \[ 2(ab + bc + ca) = (a + b + c)^2 - a^2 - b^2 - c^2. \] Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành \[ \sum_{\text{cyc}} a^2 + 2 \sum_{\text{cyc}} \sqrt{a} \geq 9, \] Điều này đúng vì theo bất đẳng thức AM-GM ta có: \[ \sum_{\text{cyc}} a^2 + 2 \sum_{\text{cyc}} \sqrt{a} = \sum_{\text{cyc}} \left( a^2 + \sqrt{a} + \sqrt{a} \right) \geq 3 \sum_{\text{cyc}} a = 9. \] Dấu '=' xảy ra tại \(a=b=c=1\)
