Bài toán chi tiết
Bài 111 (Tạp chí Toán học tuổi trẻ số 567 tháng 9 năm 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 87
BẢN INCho \(a, b, c\) là ba số thực dương và \(0<2 k<1\). Chứng minh rằng:
\[ \begin{gathered} \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(k a^{2}+t a b+k b^{2}\right)^{3}}}+\frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(k b^{2}+t b c+k c^{2}\right)}} \\ +\frac{c^{3}}{a^{2} \sqrt{\left(k c^{2}+t c a+k a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{3}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}} . \end{gathered} \]
Cách giải 1
Do \( 0 \lt 2k \lt 1\):
\[ \begin{aligned} k a^{2}+t a b+k b^{2} & =\frac{2 k+t}{4}(a+b)^{2}-\frac{t-2 k}{4}(a-b)^{2} \\ & \leq \frac{2 k+t}{4}(a+b)^{2} \end{aligned} \]
suy ra:
\[ \frac{a^{5}}{b^{2} \sqrt{\left(k a^{2}+t a b+k b^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{8 a^{5}}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t} b^{2}(a+b)^{3}} \] (1).
Tương tư:
\[ \frac{b^{5}}{c^{2} \sqrt{\left(k b^{2}+t b c+k c^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{8 b^{5}}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t} \cdot c^{2}(b+c)^{3}} \] (2);
\[ \frac{c^{5}}{a^{2} \sqrt{\left(k c^{2}+t c a+k a^{2}\right)^{3}}} \geq \frac{8 c^{5}}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t} \cdot a^{2}(c+a)^{3}} \] (3).
Cộng vế với vế của (1), (2), (3) và đặt vế trái của bài toán đề ra là \(A\) ta được:
\[ A \geq \frac{8}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}}\left[\frac{a^{5}}{b^{2}(a+b)^{3}}+\frac{b^{5}}{c^{2}(b+c)^{3}}+\frac{c^{5}}{a^{5}(c+a)^{3}}\right] \].
Tiếp theo ta đi đánh giá biểu thức:
\[ B=\frac{a^{5}}{b^{2}(a+b)^{3}}+\frac{b^{5}}{c^{2}(b+c)^{3}}+\frac{c^{5}}{a^{2}(c+a)^{3}} \]
Theo bất đẳng thức Cauchy thi:
\[ 2. \frac{(2 a)^{5}}{(a+b)^{3}}+3(a+b)^{2} \geq 5 \sqrt[5]{\frac{(2 a)^{10}}{(a+b)^{6}}(a+b)^{6}} =20 a^{2} \]
Do đó:
\[ \frac{a^{5}}{(a+b)^{3}} \geq \frac{20 a^{2}-3(a+b)^{2}}{64} \geq \frac{20 a^{2}-6 a^{2}-6 b^{2}}{64} \]
hay
\[ \frac{a^{5}}{(a+b)^{3}} \geq \frac{7 a^{2}-3 b^{2}}{32} \]
Suy ra:
\[ \frac{a^{5}}{b^{2}(a+b)^{3}} \geq \frac{7 a^{2}}{32 b^{2}}-\frac{3}{32} \tag{4} \]
Tương tụ:
\[ \begin{align*} & \frac{b^{5}}{c^{2}(b+c)^{3}} \geq \frac{7 b^{2}}{32 c^{2}}-\frac{3}{32} \tag{5}\\ & \frac{c^{5}}{a^{2}(c+a)^{3}} \geq \frac{7 c^{2}}{32 a^{2}}-\frac{3}{32} \tag{6} \end{align*} \]
Cộng vế với vế của (4), (5), (6) rồi áp dụng bất đằng thức Cauchy ta thu được:
\[ \begin{aligned} B & \geq \frac{7}{32}\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}\right)-\frac{9}{32} \\ & \geq \frac{7.3}{32}-\frac{9}{32} \\ & =\frac{3}{8} \end{aligned} \]
Vậy
\[ A \geq \frac{8}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}}, \frac{3}{8}=\frac{3}{(2 k+t) \sqrt{2 k+t}} \]
Dấu đẳng thức của bài toán xảy ra \( \Leftrightarrow a=b=c\). Bài toán được chứng minh.
