Bài toán chi tiết
Cho \( x, y, z \) là ba số thực dương thỏa mãn \( xyz = 1 \). Chứng minh rằng: \[ \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{y^3}{(1 + z)(1 + x)} + \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} \geq \frac{3}{4}. \]
| 1 cách giải | KiênĐC
Theo bất đẳng thức AM-GM ta có: \[ \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{1 + y}{8} + \frac{1 + z}{8} \geq \frac{3x}{4}. \] Áp dụng tương tự ta có: \[ \frac{y^3}{(1 + z)(1 + x)} + \frac{1 + z}{8} + \frac{1 + x}{8} \geq \frac{3y}{4}. \] \[ \frac{z^3}{(1 + x)(1 + y)} + \frac{1 + x}{8} + \frac{1 + y}{8} \geq \frac{3z}{4}. \] Cộng ba bất đẳng thức theo vế ta có: \[ \sum_{\text{cyc}} \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} + \frac{1}{4} \sum_{\text{cyc}} (1 + x) \geq \sum_{\text{cyc}} \frac{3x}{4}. \] \[ \Rightarrow \sum_{\text{cyc}} \frac{x^3}{(1 + y)(1 + z)} \geq \frac{1}{4} \sum_{\text{cyc}} (2x - 1) \geq \frac{3}{4}. \] Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi \( x = y = z = 1 \).
