Bài toán chi tiết

Bài 13 (APMO 1998)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 364

BẢN IN
Cho \( a, b, c \) là các số thực dương, chứng minh rằng \[ \left( 1 + \frac{x}{y} \right) \left( 1 + \frac{y}{z} \right) \left( 1 + \frac{z}{x} \right) \geq 2 + \frac{2(x + y + z)}{\sqrt[3]{xyz}}. \]

Cách giải 1
Khai triển biểu thức và rút gọn ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với: \[ \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \geq \frac{x + y + z}{\sqrt[3]{xyz}}, \] Bất đẳng thức này đúng theo AM-GM: \[ 3 \left( \frac{x}{y} + \frac{y}{z} + \frac{z}{x} \right) = \left( \frac{2x}{y} + \frac{y}{z} \right) + \left( \frac{2y}{z} + \frac{z}{x} \right) + \left( \frac{2z}{x} + \frac{x}{y} \right) \geq \frac{3x}{\sqrt[3]{xyz}} + \frac{3y}{\sqrt[3]{xyz}} + \frac{3z}{\sqrt[3]{xyz}}. \] Ta có điều phải chứng minh, dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c\)

Tác giả