Bài toán chi tiết
Bài 144
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 99
BẢN INCho \(a,b,c\) là các số thực dương, chứng minh rằng:
\[ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} +abc \geq 4\]
Cách giải 1
Áp dụng bất đẳng thức AM - GM ta có:
\[ \frac{a^3}{b} + ab \geq 2a^2; \frac{b^3}{c} + bc \geq 2b^2; \frac{c^3}{a} + ca \geq 2c^2 \]
Cộng lại theo vế ta có:
\[ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} \geq 2(a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca) \]
Đặt \(p=a+b+c, q=ab+bc+ca, r = abc\) ta có
\[ (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca) = 3 + 2(ab+bc+ca) \rightarrow p=\frac{p^2-3}{2} \]
\[ \frac{a^3}{b} + \frac{b^3}{c} + \frac{c^3}{a} +abc \geq abc+ 2(a^2+b^2+c^2) - (ab+bc+ca) = r + 6 - q\]
Ta đi chứng minh:
\[ r + 6 -q \geq 4 \leftrightarrow r + 2 - \frac{p^2-3}{2} \geq 0 \leftrightarrow p^2 - 2r \leq 7 \tag{*} \]
Theo bất đẳng thức Schur ta có:
\[ 9r+p^3 \geq 4pq = 2p(p^2-3) \rightarrow 9r \geq p^3 -6p \rightarrow r \geq \frac{p^3-6p}{9} \]
Bất đẳng thức (*) tương đương:
\[p^2 - \frac{2(p^3-6p)}{9} \leq 7 \leftrightarrow 9p^2-2p^3+12p \leq 63 \leftrightarrow (3-p)(2p^2-3p-21) \leq 0 \]
Đúng với \(p \leq 3\). Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).
