Bài toán chi tiết

Bài 146 (Konstantinos Geronikolas 12/2024)

12-12-2024 | 4 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1093

Cách giải 1

Ta có bất đẳng thức:

\[ ab+bc+ca \leq \frac{(a+b+c)^2}{3} = 3 \]

Do đó:

\[ \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \leq \frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}} = \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \]

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

\[ \frac{ab}{\sqrt{(a+c)(b+c)}} \leq \frac{1}{2}ab(\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}) \]

Tương tự ta có:

\[ \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} \leq \frac{1}{2}bc(\frac{1}{b+a} + \frac{1}{c+a}) \]

\[ \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} \leq \frac{1}{2}ca(\frac{1}{c+b} + \frac{1}{a+b}) \]

Cộng các bất đẳng thức trên vế với vế ta có:

\[ \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} + \frac{ca}{\sqrt{b^2+3}} + \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \leq \frac{1}{2}ab(\frac{1}{a+c} + \frac{1}{b+c}) + \frac{1}{2}bc(\frac{1}{b+a} + \frac{1}{c+a}) + \frac{1}{2}ca(\frac{1}{c+b} + \frac{1}{a+b}) \]

\[ = \frac{1}{2}(a+b+c) = \frac{3}{2} \]

Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).

Cách giải 2

Theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz ta có:

\[ \sum \frac{ab}{\sqrt{c^2+3}} \leq 2 \sum \frac{ab}{c+3} = \frac{2}{3} \sum ab - \frac{2abc}{3} \sum \frac{1^2}{a+3} \leq \frac{2}{9} \sum ab - \frac{abc}{2} \]

Do \(a,b,c\) là các số thực dương và \(a+b+c=3\) nên có hai số lớn hơn 1 hoặc 2 số nhỏ hơn 1, không mất tính tổng quát giả sử 2 số đó là a,b ta có:

\[c(1-a)(1-b) \leq 0 \leftrightarrow abc \leq c(a+b-1) = c(2-c)\]

Ta lại có:

\[\frac{2}{3}ab + \frac{2}{3}c(a+b) - \frac{c(2-c)}{2} \leq \frac{(3-c)^2}{6}+\frac{2c(3-c)}{3}+\frac{c(c-2)}{2} = \frac{3}{2} \]

Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\). 

Cách giải 3

Theo bất đẳng thức Chebishev ta có:

\[ \sum_{cyc} \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} \leq \frac{1}{3}(\sum_{cyc}ab)(\sum_{cyc} \frac{1}{\sqrt{a^2+3}}) \leq \frac{1}{2} \sum_{cyc} ab \leq \frac{3}{2} \]

Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).

Cách giải 4

Ta có theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz:

\[ \sum_{cyc} \frac{bc}{\sqrt{a^2+3}} = \sum_{cyc} \frac{2bc}{\sqrt{a^2+1+1+1 \sqrt{1+1+1+1}}} \leq \sum_{cyc} \frac{2bc}{a+3} \]

Ta đi chứng minh:

\[ \sum_{cyc} \frac{2bc}{a+3} \leq \frac{3}{2} \]

Thật vậy ta có:

\[ \sum_{cyc} (\frac{bc}{a+3} - \frac{bc}{3}) \leq \frac{3}{4} - \frac{1}{3} \sum_{cyc} ab \leftrightarrow abc \sum_{cyc} \frac{1}{a+3} \ geq \sum_{cyc} ab - \frac{9}{4} \]

Lại có theo bất đẳng thức Cauchy Schwarz và Schur ta có:

\[ \sum_{cyc} \frac{1}{a+3} \leq \frac{9}{\sum_{cyc} a + 9} = \frac{9}{3+9} = \frac{3}{4} \]

\[ abc \geq \frac{4 \sum_{cyc} ab - 9}{3} \]

Nên ta có điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c=1\).