Bài toán chi tiết
Bài 177
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1084
BẢN INCho \(a, b, c>0\). Chứng minh rằng
\[\frac{a(b+c)}{\sqrt{b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}}+\frac{b(c+a)}{\sqrt{c a\left(c^{2}+a^{2}\right)}}+\frac{c(a+b)}{\sqrt{a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq 3 \sqrt{2}\]
Cách giải 1
Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh như sau
\[\frac{a(b+c)}{\sqrt{2 b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}}+\frac{b(c+a)}{\sqrt{2 c a\left(c^{2}+a^{2}\right)}}+\frac{c(a+b)}{\sqrt{2 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq 3\]
Ta dự đoán rằng đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c\). Khi đó ta có \(b^{2}+c^{2}=2 b c\). Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta được
\[\sqrt{2 b c\left(b^{2}+c^{2}\right)} \leq \frac{2 b c+b^{2}+c^{2}}{2}=\frac{(b+c)^{2}}{2}\]
Từ đó ta có \(\dfrac{a(b+c)}{\sqrt{2 b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}} \geq \dfrac{2 a}{b+c}\). Kết hợp với hai đánh giá tương tự khác, ta suy ra
\[\frac{a(b+c)}{\sqrt{2 b c\left(b^{2}+c^{2}\right)}}+\frac{b(c+a)}{\sqrt{2 c a\left(c^{2}+a^{2}\right)}}+\frac{c(a+b)}{\sqrt{2 a b\left(a^{2}+b^{2}\right)}} \geq 2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\right)\]
Cuối cùng, ta cần chỉ ra rằng
\[\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b} \geq \frac{3}{2}\]
tuy nhiên đây lại là một đánh giá quen thuộc.
Đắng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\). Bài toán được chứng minh xong.
