Bài toán chi tiết

Bài 178

13-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1095

Cách giải 1

Do \(a b c=1\) và \(a, b, c\) là các số thực dương nên ta có thể dự đoán được dấu bằng xảy ra khi \(a=b=c=1\).

Dễ thấy rằng trong \(a, b, c\) tồn tại hai số cùng lớn hơn hoặc bằng 1 , hoặc hai số đó cùng nhỏ hơn 1.

Có thể thấy rõ hơn điều này thông qua chú ý sau

\[[(a-1)(b-1)][(b-1)(c-1)][(c-a)(a-1)]=(a-1)^{2}(b-1)^{2}(c-1)^{2} \geq 0\]

do đó trong ba số \((a-1)(b-1),(b-1)(c-1),(c-1)(a-1)\) có ít nhất một số không âm và do tính đối xứng nên ta hoàn toàn có thể giả sử

\[(a-1)(b-1) \geq 0\]

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử hai số đó là \(a, b\), suy ra

\[(a-1)(b-1) \geq 0 \Leftrightarrow a b+1 \geq a+b \Leftrightarrow 2(a b+c+1) \geq 2(a+b+c)\]

Ta sẽ chứng minh

\[\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+3 \geq 2(a b+c+1) \Leftrightarrow \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}}+\frac{1}{c^{2}}+1 \geq 2(a b+c)\]

Đến đây, ta có thể sử dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương như sau

\[\frac{1}{c^{2}}+1 \geq \frac{2}{c}=\frac{2 a b c}{c}=2 a b, \quad \frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \geq \frac{2}{a b}=\frac{2 a b c}{a b}=2 c\]

Cộng hai bất đẳng thức trên lại ta suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\). Bài toán được chứng minh xong.