Bài toán chi tiết

Bài 180

13-12-2024 | 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1086

Cách giải 1

Đối với các bất đẳng thức không thuần nhất thì cách đặt như trên tỏ ra rất hiệu quả và rất hay được sử dụng. Mình cũng xin nêu ra một hướng tiếp cận khác cho bài toán này.

Mặc nhiên dế thấy rẳng đây là một bất đẳng thức hoán vị, mà như ta đã biết thì bất đẳng thức hoán vị thường khó xử lí hơn so với bất đẳng thức đối xứng vì thế ý tưởng của ta sẽ tìm cách đưa bất đẳng thức này về dạng đối xứng. Hai công cụ để giúp ta thực hiện công việc này chính là bất đẳng thức Cauchy-Schwarz và AM-GM.

Bất đẳng thức này hoán vị là do đại lượng \(a b^{2}+b c^{2}+c a^{2}\) vì thế những đánh giá mà ta dùng chắc hẳn phải liên quan đển đại lượng này. Rất tự nhiên theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[a b^{2}+b c^{2}+c a^{2} \geq \frac{(a b+b c+c a)^{2}}{a+b+c}\]

Từ đó đưa bài toán về chứng minh

\[a^{2}+b^{2}+c^{2}+\frac{(a b+b c+c a)^{2}}{a+b+c}+9 \geq 5(a+b+c)\]

Ta thấy rằng bất đẳng thức này có chứa 3 đại lượng là \(a^{2}+b^{2}+c^{2}, a b+b c+c a, a+b+c\) mà chúng lại có liên quan với nhau thông qua hằng đẳng thức \((a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(a b+b c+c a)\) và nếu biểu diễn một đại lượng thông qua hai đại lượng còn lại thì bất đẳng thức của chúng ta về cơ bản sẽ trở nên đơn giản hơn.

Với ý tưởng như vậy sử dụng hằng đẳng thức \(a^{2}+b^{2}+c^{2}=(a+b+c)^{2}-2(a b+b c+c a)\), ta có thể viết bất đẳng thức chứng minh về dạng

\[\left[(a+b+c)^{2}-6(a+b+c)+9\right]+\frac{(a b+b c+c a)^{2}}{a+b+c}-2(a b+b c+c a)+(a+b+c) \geq 0\]

Hay

\[(a+b+c-3)^{2}+\frac{(a b+b c+c a-a-b-c)^{2}}{a+b+c} \geq 0\]

Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng, tức bài toán đã được chứng minh xong.

Cách giải 2

Đặt \(x=a-1, y=b-1, z=c-1\), khi đó bất đẳng thức ban đầu được viết lại thành

\[(x+1)^{2}+(y+1)^{2}+(z+1)^{2}+(x+1)(y+1)^{2}+(y+1)(z+1)^{2}+(z+1)(x+1)^{2}+9 \geq 5(x+y+z+3)\]

Hay (sau khi đã khai triển và rút gọn)

\[2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2} \geq 0\]

Lưu ý rằng từ phép đặt trên, ta suy ra \(x, y, z>-1\), do đó đánh giá cuối cùng đúng vì

\(2\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)+2(x y+y z+z x)+x y^{2}+y z^{2}+z x^{2}=(x+y+z)^{2}+y^{2}(x+1)+z^{2}(y+1)+x^{2}(z+1) \geq 0\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=1\). Bài toán được chứng minh xong.