Bài toán chi tiết

Bài 181

13-12-2024 | 3 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1092

Cách giải 1

Trước hết ta viết biểu thức bài cho lại như sau

\[P=\left(\frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x}\right)+\left(\frac{x^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y}\right)\]

Tiếp đến ta sẽ chứng minh

\[ \frac{x^{2}}{y}+\frac{y^{2}}{z}+\frac{z^{2}}{x} \geq x+y+z \tag{1} \]

Sử dụng AM-GM cho hai số

\[\frac{x^{2}}{y}+y \geq 2 x\]

rồi thực hiện tương tự chi hai đại lượng còn lại sau đó cộng vế lại với nhau ta sẽ được bất đẳng thức (1). Hoàn toàn tương tự cũng có

\[\frac{x^{2}}{z}+\frac{y^{2}}{x}+\frac{z^{2}}{y} \geq x+y+z \tag{2}\]

Cộng vế theo vế của (1) và (2), lại ta được

\[P \geq 2(x+y+z)=2\]

Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là \(P=2\) đạt được khi và chỉ khi \(x=y=z=\frac{1}{3}\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

\[P=\frac{x^{2}(y+z)}{y z}+\frac{y^{2}(z+x)}{z x}+\frac{z^{2}(x+y)}{x y} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{\frac{y z}{y+z}+\frac{z x}{z+x}+\frac{x y}{x+y}}\]

Theo một hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM, ta lại có

\[(y+z)^{2} \geq 4 y z\]

Nên

\[\frac{y z}{y+z} \leq \frac{y+z}{4}\]

Ta suy ra thêm hai đánh giá tương tự khác để có

\[P \geq \dfrac{(x+y+z)^{2}}{\dfrac{y+z}{4}+\dfrac{z+x}{4}+\dfrac{x+y}{4}}=2(x+y+z)\]

Và vì \(x+y+z=1\) nên ta suy ra

\[P \geq 2\]

Cuối cùng, với \(x=y=z=\frac{1}{3}\) (thoả mãn điều kiện) thì \(P=2\) nên ta kết luận 2 là giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 3

Dưới đây là một cách tiếp cận khác cho bài toán này.

Quan sát một chút ta thấy rằng tử số của biểu thức bài cho có chứa các đại lượng \(x+y, y+\) \(z, z+x\) còn ở mẫu số thì tượng ứng chứa \(x y, y z, z x\) vì thế nếu ta sử dụng bẩt đẳng thức AM-GM cho tử số thì có thể giản ước đi tử sô tuy nhiên lúc này bài toán lại xuất hiện căn thức tuy nhiên các bạn đừng lo vì căn thức này nằm ở mẫu số vì thế ta có thể khử nó dễ dàng bằng \(\mathrm{AM}-\mathrm{GM}\).

Ý tưởng là vậy và ta tiến hành như sau, sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[\frac{x^{2}(y+z)}{y z} \geq \frac{2 x^{2} \sqrt{y z}}{y z}=\frac{2 x^{2}}{\sqrt{y z}} \geq \frac{4 x^{2}}{y+z}\]

Thực hiện tượng tự cho hại đại lượng còn lại sau đó cộng tương ứng các vế lại với nhau ta thu được

\[P \geq 4\left(\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y}\right)\]

Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz thì

\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} \geq \frac{1}{2} \cdot \frac{(x+y+z)^{2}}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{2}=\frac{1}{2}\]

Từ đó suy ra \(P \geq 2\). Mặt khác dễ thấy với \(x=y=z=\dfrac{1}{3}\) thì \(P=2\). Việc tìm được các giá trị của \(x, y, z\) thỏa mãn điều kiện bài toán và \(P=2\) cho phép ta kết luận giá trị nhỏ nhất của \(P\) là 2 . Bài toán được giải quyết xong.

Ngoài ra ta có thể thu được đánh giá

\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y^{2}}{z+x}+\frac{z^{2}}{x+y} \geq \frac{x+y+z}{2}\]

Nhờ vào bất đẳng thức AM-GM như sau

\[\frac{x^{2}}{y+z}+\frac{y+z}{4} \geq x\]

Bài toán được chứng minh xong.