Bài toán chi tiết
Bài 184
| 3 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1086
BẢN INCho \(a, b, c>0\) và \(a+b+c=a b c\). Chứng minh rằng
\[\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}} \geq 1\]
Cách giải 1
Bất đẳng thức này không đồng bậc, nhận thấy vế trái bậc \((-2)\), vế phải bậc 0 , điều kiện giả thiết \(a+b+c\) (bậc 1\()=a b c\) (bậc 3 ), từ đó ta có ý tưởng làm cho hai biểu thức đồng bậc. Với ý tưởng như vậy ta sẽ tiến hành như sau.
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[a b c\left(\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}\right) \geq a+b+c\]
Hay
\[\frac{a^{2} c}{b^{2}}+\frac{b^{2} a}{c^{2}}+\frac{c^{2} b}{a^{2}} \geq a+b+c\]
Đến đây sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có
\[\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\left(\frac{a^{2} c}{b^{2}}+\frac{b^{2} a}{c^{2}}+\frac{c^{2} b}{a^{2}}\right) \geq\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^{2}\]
Ta cần chứng minh
\[\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^{2} \geq(a+b+c)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\]
Hay
\[\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{b^{2}}{c^{2}}+\frac{c^{2}}{a^{2}}+\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b} \geq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\]
Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\left(\frac{a^{2}}{b^{2}}+1\right)+\left(\frac{b^{2}}{c^{2}}+1\right)+\left(\frac{c^{2}}{a^{2}}+1\right) \geq 2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)\]
Và
\[\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a} \geq 6\]
Cộng lại, ta có điều phải chứng minh và đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\sqrt{3}\). Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 2
Một lời giải khá tự nhiên cho bài này là dùng cách đặt ẩn phụ để đưa điều kiện bài toán về dạng dễ nhìn.
Đặt \(\frac{1}{a}=x, \frac{1}{b}=y, \frac{1}{c}=z\), ta suy ra \(x y+y z+z x=1\). Khi đó
\[\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}}=\frac{y^{3}}{x}+\frac{z^{3}}{y}+\frac{x^{3}}{z}\]
Ta chỉ cần chứng minh
\[\frac{y^{3}}{x}+\frac{z^{3}}{y}+\frac{x^{3}}{z} \geq 1\]
điều này khá dễ, xin không chứng minh. Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 3
Ta viết bất đẳng thức cần chứng minh lại dưới dạng thuần nhất như sau
\[\frac{a}{b^{3}}+\frac{b}{c^{3}}+\frac{c}{a^{3}} \geq \frac{a+b+c}{a b c}\]
Nhân hai vế của bất đẳng thức này với \(a b c>0\), ta được
\[\frac{a b^{2}}{c^{2}}+\frac{b c^{2}}{a^{2}}+\frac{c a^{2}}{b^{2}} \geq a+b+c\]
Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có
\[\frac{b c^{2}}{a^{2}}+\frac{c a^{2}}{b^{2}}+b \geq 3 \sqrt[3]{\frac{b c^{2}}{a^{2}} \cdot \frac{c a^{2}}{b^{2}} \cdot b}=3 c\]
Thực hiện đánh giá tương tự cho các đại lượng còn lại sau đó cộng tương ứng các vế lại với nhau ta thu được kết quả cần phải chứng minh. Bài toán được chứng minh xong.
