Bài toán chi tiết

Bài 187

14-12-2024 | 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1097

Cách giải 1

Ta chứng minh hai bổ để sau

Bổ đề 1.Với \(x, y \in[0,1]\) thì

\[\frac{1}{4 x+5}+\frac{1}{4 y+5} \leq \frac{2}{4 \sqrt{x y}+5}\]

Chứng minh:

Quy đồng mẫu số và rút gọn, ta thu được \((20-16 \sqrt{x y})(\sqrt{x}-\sqrt{y})^{2} \geq 0\), hiển nhiên đúng với \(x, y \in[0,1]\)

Bổ đề 2. Với \(x, y, z \in[0,1]\) thì

\[\frac{1}{4 x+5}+\frac{1}{4 y+5}+\frac{1}{4 z+5} \leq \frac{3}{4 \sqrt[3]{x y z}+5}\]

Chứng minh:

Cộng thêm cả hai vế với \(\frac{1}{4 \sqrt[3]{x y z}+5}\) và áp dụng liên tiếp hai lần bổ đề 1. Quay trở lại bài toán, sử dụng liên tiếp hai bổ đề trên, ta dễ dàng chứng minh được:

Với 6 số thực \(a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}, a_{6} \in[0,1]\), ta có

\[\frac{1}{4 a_{1}+5}+\frac{1}{4 a_{2}+5}+\frac{1}{4 a_{3}+5}+\frac{1}{4 a_{4}+5}+\frac{1}{4 a_{5}+5}+\frac{1}{4 a_{6}+5} \leq \frac{6}{4 \sqrt[6]{a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot a_{4} \cdot a_{5} \cdot a_{6}}+5}\]

Tới đây, lấy \(a_{1}=x, a_{2}=a_{3}=y, a_{4}=a_{5}=a_{6}=z\) thì bất đẳng thức trên trở thành

\[\frac{1}{4 x+5}+\frac{2}{4 y+5}+\frac{3}{4 z+5} \leq \frac{6}{4 \sqrt[6]{x y^{2} z^{3}}+5}\]

Kết hợp với giả thiết, ta thu được

\[1 \leq \frac{6}{4 \sqrt[6]{x y^{2} z^{3}}+5}\]

Từ đó dễ dàng suy ra \(P=x y^{2} z^{3} \leq \dfrac{1}{4^{6}}\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 2

Viết giả thiết thành

\[\frac{1}{4 x+5}+\frac{1}{4 y+5}+\frac{1}{4 y+5}+\frac{1}{4 z+5}+\frac{1}{4 z+5}+\frac{1}{4 z+5}=1\]

Ta có

\[\begin{aligned}\frac{1}{4 x+5} & =\frac{1}{5}-\frac{1}{4 y+5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4 y+5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4 z+5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4 z+5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4 z+5} \\

& =\frac{1}{5}\left(\frac{4 y}{4 y+5}\right)+\frac{1}{5}\left(\frac{4 y}{4 y+5}\right)+\frac{1}{5}\left(\frac{4 z}{4 z+5}\right)+\frac{1}{5}\left(\frac{4 z}{4 z+5}\right)+\frac{1}{5}\left(\frac{4 z}{4 z+5}\right)\end{aligned}\]

Áp dụng bất đẳng thức \(A M-G M\), ta có

\[ \frac{1}{4 x+5} \geq 4 \sqrt[5]{\frac{y^{2} z^{3}}{(4 y+5)^{2}(4 z+5)^{3}}} \tag{1} \]

Tương tự ta có

\[ \begin{align*}& \frac{1}{4 y+5} \geq 4 \sqrt[5]{\frac{x y z^{3}}{(4 x+5)(4 y+5)(4 z+5)^{3}}}  \tag{2}\\& \frac{1}{4 z+5} \geq 4 \sqrt[5]{\frac{x y z^{3}}{(4 x+5)(4 y+5)^{2}(4 z+5)^{2}}} \tag{3}\end{align*} \]

Bình phương hai vế của bất đẳng thức (2) và lập phương hai vế của bất đẳng thức (3) rồi nhân vế theo vế của (1), (2), (3) , ta được

\[1 \geq 4^{6} x y^{2} z^{3}\]

Do đó,

\[x y^{2} z^{3} \leq \frac{1}{4^{6}}\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\[x=y=z=\frac{1}{4}\]

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\frac{1}{4^{6}}\). Bài toán được chứng minh xong.