Bài toán chi tiết

Bài 189

14-12-2024 | 4 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1089

Cách giải 1

Ta chỉ cần xét trường hợp \(x, y, z>0\)

Từ \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\) nên bao giờ cũng có thể đặt \(y=\sqrt{3} \cos a, x=\sqrt{3} \sin a \cos b, z=\) \(\sqrt{3} \sin a \sin b\). Với \(a, b \in\left[0 ; \dfrac{\pi}{2}\right]\)

Thế thì

\[P=3 \sqrt{2} \sin a \cos a \sin \left(b+\frac{\pi}{4}\right)+3 \sin ^{2} a \sin 2 b\]

Ta có đánh giá sau

\[P \leq \frac{3 \sqrt{2}}{2} \sin 2 a+3 \sin ^{2} a=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}(\sqrt{2} \sin 2 a-\cos 2 a) \leq \frac{3}{2}(1+\sqrt{3})\]

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

\[\left\{\begin{array}{l}y=\sqrt{\dfrac{3-\sqrt{3}}{2}} \\x=z=\sqrt{\dfrac{3+\sqrt{3}}{4}}\end{array}\right.\]

Vậy giá trị lớn nhất của \(P\) bằng \(\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3})\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 2

Đặt \(a^{2}=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\) và \(2 b^{2}=a^{2}+1\) (với \(a, b>0\) ). Khi đó ta có \(a b=\dfrac{1}{2}\). Do đó ta có các đánh giá sau đây

\[\begin{aligned}a^{2} x^{2}+b^{2} y^{2} & \geq 2 a b x y \\b^{2} y^{2}+a^{2} z^{2} & \geq 2 a b y z \\x^{2}+z^{2} & \geq 2 x z\end{aligned}\]

Suy ra

\[\left(a^{2}+1\right) x^{2}+2 b^{2} y^{2}+\left(a^{2}+1\right) z^{2} \geq(2 a b x y+2 a b y z+2 x z)\]

Hay

\[2 b^{2}\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \geq(x y+y z+2 x z)\]

Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 3

Trước tiên, ta sẽ đồng bậc hóa bất đẳng thức đã cho để đưa bài toán về đúng bản chất của nó. Bất đẳng thức đồng bậc của ta có dạng

\[ x y+y z+2 z x \leq k\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right) \tag{*} \]

Với hằng số \(k>0\). Trở lại bài toán cần xét, khi đọc tới giả thiết \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\) thì phải hiểu rằng Max \(P=3 k\) và công việc của ta là tìm \(k\) để (\textit{) luôn đúng với mọi \(x, y, z\). Để ý rằng, (}) có thể viết lại thành

\[k y^{2}-y(x+z)+k x^{2}+k z^{2}-2 x z \geq 0\]

Do hệ số \(k>0\) nên coi đây là tam thức bậc hai ẩn \(y\) thì dễ thấy nếu ta tìm được \(k\) sao cho \(\Delta \leq 0, \forall x, z\), bài toán sẽ được giải quyết (theo định lí về dấu của tam thức bậc hai).

Ta lại có \(\Delta=\left(1-4 k^{2}\right)\left(x^{2}+z^{2}\right)+2(1+4 k) x z(1)\)

Mặt khác, bất đẳng thức trên đối xứng với \(x\) và \(z\) nên ta có thể dự đoán \(P\) đạt Max khi và chỉ khi \(x=z\). Từ đó, dẫn tới ý tưởng thay \(x=z=1\) vào (1), ta thu được \(2 k^{2}-2 k-1=0\).

Do \(k>0\) nên ta chỉ chọn nghiệm \(k=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\) mà thôi.

Vậy kết luận được Max \(P=\dfrac{3(1+\sqrt{3})}{2}\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 4

Ta chỉ cần giải bài toán trong trường hợp \(a, b, c\) là các số dương là được.

Giả sử rằng \(P\) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \(a=x, b=y, c=z\) khi đó dễ thấy \(\dfrac{a}{x}=\dfrac{b}{y}=\dfrac{c}{z}=1\) và \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\). Khi đó theo bất đẳng thức \(A M-G M\), ta có

\[a b=\frac{1}{2 x y} \cdot 2 \cdot a y \cdot b x \leq \frac{1}{2 x y}\left(a^{2} y^{2}+b^{2} x^{2}\right)=a^{2} \cdot \frac{y}{2 x}+b^{2} \cdot \frac{x}{2 y}\]

Đánh giá tương tự cho \(b c\) và \(2 c a\) ta được

\[\begin{aligned}b c & \leq b^{2} \cdot \frac{z}{2 y}+c^{2} \cdot \frac{y}{2 z} \\2 c a & \leq c^{2} \cdot \frac{x}{z}+a^{2} \cdot \frac{z}{x}\end{aligned}\]

Cộng tương ứng các vế của ba bất đẳng thức trên, ta thu được

\[P=a b+b c+2 c a \leq a^{2} \cdot\left(\frac{y+2 z}{2 x}\right)+b^{2} \cdot\left(\frac{z+x}{2 y}\right)+c^{2} \cdot\left(\frac{2 x+y}{2 z}\right)\]

Vậy ta chỉ cần chọn \(x, y, z\) sao cho

\[\left\{\begin{array}{c}\dfrac{y+2 z}{x}=\dfrac{z+x}{y}=\dfrac{2 x+y}{z} \\x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\end{array}\right.\]

Ta có phương trình

\[\frac{y+2 z}{x}=\frac{2 x+y}{z}\]

tương đương với \((z-x)[y+2(z+x)]=0\) tức \(x=z\) (vì \(x, y, z>0)\). Thay giá trị này vào phương trình

\[\frac{y+2 z}{x}=\frac{z+x}{y}\]

ta sẽ thu được

\[2 x^{2}-2 x y-y^{2}=0\]

hay

\[2\left(\frac{x}{y}\right)^{2}-2 \cdot \frac{x}{y}-1=0\]

Giải phương trình này ta thu được nghiệm là \(\dfrac{x}{y}=\dfrac{1+\sqrt{3}}{2}\). Từ đó ta thu được \(x=y \cdot \dfrac{1+\sqrt{3}}{2}=\) \(z\) từ đây kết hợp với giả thiết \(x^{2}+y^{2}+z^{2}=3\) ta tìm được

\[\left\{\begin{array}{c}x=z=\sqrt{\frac{3+\sqrt{3}}{4}} \\y=\sqrt{\frac{3-\sqrt{3}}{2}}\end{array}\right.\]

và từ đó tìm được giá trị lớn nhất của \(P\) là \(\dfrac{3}{2}(1+\sqrt{3})\).

Thực ra ta có thể dựa vào tính đối xứng của \(c, a\) để dự đoán đẳng thức xảy ra khi \(c=a=\) \(x, z=y\) để đưa ra phân tích ngắn hơn nhưng mình muốn trình bày một cách tổng quan hơn nên đã chọn phương pháp trên. Bài toán được chứng minh xong.