Bài toán chi tiết
Bài 19 (Bài 7 (257 + 258) Tạp chí Toán tuổi thơ)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 359
BẢN IN
Cách giải 1
Ta có:
\[
x^5 - x + 8 = (x^2 + 3)(x^2 - x - 2).
\]
Vì \(x > 0\), nên:
\[
x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \leq 0 \implies x^2 + 3 \geq 2.
\]
Suy ra:
\[
x^5 - x + 8 \geq 2(x^2 + 3) = 2(x^2 + y^2 + z^2).
\]
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:
\[
\frac{(y+z)^2}{x^5 - x + 8} \leq \frac{(y+z)^2}{2(x^2 + y^2 + z^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right).
\]
Tương tự, ta cũng có:
\[
\frac{(z+x)^2}{y^5 - y + 8} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right),
\]
\[
\frac{(x+y)^2}{z^5 - z + 8} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right).
\]
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được:
\[
P \leq \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right).
\]
Hay:
\[
P \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{3}{2}.
\]
Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của P là:
\[
P = \frac{3}{2}.
\]
