Bài toán chi tiết
Với \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn \(x^2 + y^2 + z^2 = 3\), tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ P = \frac{(y+z)^2}{x^5 - x + 8} + \frac{(z+x)^2}{y^5 - y + 8} + \frac{(x+y)^2}{z^5 - z + 8}. \]
| 1 cách giải | KiênĐC
Ta có: \[ x^5 - x + 8 = (x^2 + 3)(x^2 - x - 2). \] Vì \(x > 0\), nên: \[ x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1) \leq 0 \implies x^2 + 3 \geq 2. \] Suy ra: \[ x^5 - x + 8 \geq 2(x^2 + 3) = 2(x^2 + y^2 + z^2). \] Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có: \[ \frac{(y+z)^2}{x^5 - x + 8} \leq \frac{(y+z)^2}{2(x^2 + y^2 + z^2)} = \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right). \] Tương tự, ta cũng có: \[ \frac{(z+x)^2}{y^5 - y + 8} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right), \] \[ \frac{(x+y)^2}{z^5 - z + 8} \leq \frac{1}{2} \left( \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right). \] Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên, ta được: \[ P \leq \frac{1}{2} \left( \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{z^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{x^2}{x^2 + y^2 + z^2} + \frac{y^2}{x^2 + y^2 + z^2} \right). \] Hay: \[ P \leq \frac{1}{2} \cdot \frac{2(x^2 + y^2 + z^2)}{x^2 + y^2 + z^2} = \frac{3}{2}. \] Dấu bằng xảy ra khi \(x = y = z = 1\). Vậy giá trị lớn nhất của P là: \[ P = \frac{3}{2}. \]
