Bài toán chi tiết
Bài 192
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1100
BẢN INCho \(a, b, c\) đôi một khác nhau và thuộc \([0 ; 2]\). Tìm giá trị nhỏ nhất của
\[P=\frac{1}{(a-b)^{2}}+\frac{1}{(b-c)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}\]
Cách giải 1
Áp dụng BĐT \(\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}} \geq \dfrac{8}{(x+y)^{2}}\) với \(x, y>0\)
Chứng minh điều này đơn giản vì nó tương đương với \((x-y)^{2}\left(x^{2}+y^{2}+4 x y\right) \geq 0\)
Ta có
\[P \geq \frac{8}{(c-a)^{2}}+\frac{1}{(c-a)^{2}}=\frac{9}{(c-a)^{2}} \geq \frac{9}{4}\]
Dấu "=" chẳng hạn khi \(a=0, b=1, c=2\). Bài toán được chứng minh xong.
