Bài toán chi tiết
Bài 193
| 3 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1086
BẢN INCho \(a, b, c\) là các số thực dương. Chứng minh rằng
\[\frac{a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+a c}+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+a b} \leq 1\]
Cách giải 1
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
\[\frac{b c}{2\left(2 a^{2}+b c\right)}+\frac{a c}{2\left(2 b^{2}+a c\right)}+\frac{a b}{2\left(2 c^{2}+a b\right)} \geq \frac{1}{2}\]
Chỉ cần thêm bớt vào hai vế Sử dụng bất đẳng thức bunhiakowsky ta có
\[\frac{(b c)^{2}}{2\left(2 a^{2} b c+(b c)^{2}\right)}+\frac{(a c)^{2}}{2\left(2 b^{2} a c+(a c)^{2}\right)}+\frac{(a b)^{2}}{2\left(2 c^{2} a b+(a b)^{2}\right)} \geq \frac{(b c+c a+a b)^{2}}{2(a b+b c+c a)^{2}}=\frac{1}{2}\]
Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 2
Bất đẳng thức đã cho tương đương với
\[\frac{1}{2+\frac{b c}{a^{2}}}+\frac{1}{2+\frac{c a}{b^{2}}}+\frac{1}{2+\frac{a b}{c^{2}}} \leq 1\]
Đặt \(x^{2}=\dfrac{b c}{a^{2}}, y^{2}=\dfrac{c a}{b^{2}}, z^{2}=\dfrac{a b}{c^{2}}\) với \(x, y, z>0\), ta có \(x y z=1\)
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
\[\frac{x^{2}}{2+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2+z^{2}} \geq 1\]
Mặt khác, theo bất đẳng thức Cauchy - Schwarz, ta có
\[\frac{x^{2}}{2+x^{2}}+\frac{y^{2}}{2+y^{2}}+\frac{z^{2}}{2+z^{2}} \geq \frac{(x+y+z)^{2}}{6+x^{2}+y^{2}+z^{2}}\]
Ta cần chỉ ra
\[\frac{(x+y+z)^{2}}{6+x^{2}+y^{2}+z^{2}} \geq 1\]
nữa là bài toán được giải quyết. Thật vậy, bất đẳng thức trên tương đương với
\[x y+y z+z x \geq 3\]
Bất đẳng cuối luôn đúng theo bất đẳng thức \(A M-G M\). Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 3
Để ý rằng, theo bất đẳng thức AM-GM dạng \(2 x y \leq x^{2}+y^{2}\), ta có
\[\frac{2 a^{2}}{2 a^{2}+b c}=\frac{1}{1+\frac{b c}{2 a^{2}}}=\frac{1}{1+\frac{1}{2 \cdot \frac{a}{b} \cdot \frac{a}{c}}} \leq \frac{1}{1+\frac{1}{\frac{a^{2}}{b^{2}}+\frac{a^{2}}{c^{2}}}}=\frac{a^{2} b^{2}+c^{2} a^{2}}{a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}}\]
Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta thu được
\[\frac{2 a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\frac{2 b^{2}}{2 b^{2}+c a}+\frac{2 c^{2}}{2 c^{2}+a b} \leq \frac{2\left(a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}\right)}{a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}}=2\]
Hay
\[\frac{a^{2}}{2 a^{2}+b c}+\frac{b^{2}}{2 b^{2}+c a}+\frac{c^{2}}{2 c^{2}+a b} \leq 1\]
Bài toán được chứng minh xong.
