Bài toán chi tiết

Bài 194

14-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1091

Cách giải 1

Nhận xét. Đối với những bài toán cho giả thiết \(a x^{2}+b x y+c y^{2}+d x+e y+f=0\) (hay \(\leq 0\) ) và yêu cầu tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(S=\alpha x+\beta y\) (trong đó \(a, b, c, d, e, f, \alpha, \beta\) là các số đã cho trước rồi, lưu ý \(a>0, b>0\) ) thì có một cách là ta rút \(x\) theo \(S\) và \(y\) rồi thay vào biểu thức của giả thiết để được một tam thức bậc hai đối với ẩn \(y\) sau đó giải điều kiện \(\Delta_{y} \geq 0\) để thu được giá trị nhỏ nhẩt và giá trị lớn nhất của \(S\).

Cụ thể bài này ta giải như sau

Do \(S=x+3 y\) nên \(x=S-3 y\), thay vào giả thiết \(5 x^{2}+5 y^{2}-5 x-15 y+8 \leq 0\) và viết theo hệ số của biến \(y\) ta thu được

\[ 50 y^{2}-30 S y+5 S^{2}-5 S+8 \leq 0 \tag{*} \]

Vì bất đẳng thức trên đúng với mọi \(y\) nên ta có \(\Delta \geq 0\), tức là

\[900 S^{2}-4.50 .\left(5 S^{2}-5 S+8\right) \geq 0\]

Biến đổi tương đương ta thu được

\[-100 S^{2}+1000 S-1600 \leq 0\]

Hay

\[100 S^{2}-1000 S+1600 \leq 0\]

Ví phương trình \(100 x^{2}-1000 x+1600=0\) có 2 nghiệm là \(x=2\) và \(x=8\). Do đó ta thu được

\[2 \leq S \leq 8\]

Ta có:

Khi \(S=2\) thay vào \(\left(^{*}\right.\) ) được \(50 y^{2}-60 y+18 \leq 0\) hay \(y=\frac{3}{5}\) nên \(x=S-3 y=2-\frac{9}{5}=\frac{1}{5}\).

Khi \(S=8\) thay vào (*) được \(50 y^{2}-240 y+288 \leq 0\) hay \(y=\frac{12}{5}\) nên \(x=S-3 y=8-\frac{36}{5}=\frac{4}{5}\).

Vậy giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức \(S\) lần lượt là 2 và 8. Bài toán được chứng minh xong.