Bài toán chi tiết
Bài 197
| 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1096
BẢN INCho \(x \geq y \geq z>0\). Chứng minh rằng
\[\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\]
Cách giải 1
Áp dụng BĐT Bunhiacopsky cho 2 dãy số \(x \sqrt{\dfrac{y}{z}} ; y \sqrt{\dfrac{z}{x}} ; z \sqrt{\dfrac{x}{y}}\) và \(x \sqrt{\dfrac{z}{y}} ; y \sqrt{\dfrac{x}{z}} ; z \sqrt{\dfrac{y}{x}}\)
Ta có:
\[ \left(\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}\right)\left(\frac{x^{2} z}{y}+\frac{y^{2} x}{z}+\frac{z^{2} y}{x}\right) \geq\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} \tag{1} \]
Xét hiệu:
\[\begin{aligned}F & =\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}-\left(\frac{x^{2} z}{y}+\frac{y^{2} x}{z}+\frac{z^{2} y}{x}\right) \\& =\frac{1}{x y z}\left(x^{3} z^{2}+y^{3} z^{2}+z^{3} x^{2}-x^{3} z^{2}-y^{3} z^{2}-z^{3} y^{2}\right) \\& =\frac{1}{x y z}\left[\left(x^{3} z^{2}-y^{3} z^{2}\right)+\left(y^{3} z^{2}-z^{3} y^{2}\right)+\left(z^{3} x^{2}-x^{3} z^{2}\right)\right] \\& =\frac{1}{x y z}(x-y)(y-z)(x-z)(x y+y z+z x) \geq 0\end{aligned}\]
Suy ra:
\[ \frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y} \geq \frac{x^{2} z}{y}+\frac{y^{2} x}{z}+\frac{z^{2} y}{x} \tag{2} \]
Từ (1) và (2), ta được:
\[\left(\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}\right)^{2} \geq\left(\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}\right)\left(\frac{x^{2} z}{y}+\frac{y^{2} x}{z}+\frac{z^{2} y}{x}\right) \geq\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}\]
Vậy:
\[\left(\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}\right)^{2} \geq\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2} \Leftrightarrow \frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+y^{2}+z^{2}\]
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z>0\). Bài toán được chứng minh xong.
Cách giải 2
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}+z x \geq x^{2}+y^{2}+z x+z^{2}\]
Vî sao lại thêm bớt \(z x\) vào hai vế? Vî với một bài toán hoán vị, trong đó \(y\) là số nằm giữa \(x\) và \(z\) thì thường ta sẽ, làm thế nào đó, để sử dụng được đánh giá quen thuộc \(y^{2}+z x \leq y(z+x)\). Thật vậy, nếu sử dụng đánh giá trên thì bài toán quy về chứng minh
\[\frac{x^{2} y}{z}+\frac{y^{2} z}{x}+\frac{z^{2} x}{y}+z x \geq x^{2}+z^{2}+x y+y z\]
Một cách tự nhiên ta muốn sử dụng bất đẳng thức AM-GM dạng \(x+y \geq 2 \sqrt{x y}\) để có
\[\frac{y^{2} z}{x}+z x \geq 2 \sqrt{\frac{y^{2} z}{x} \cdot z x}=2 y z\]
Từ đó, ta sẽ thử chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là
\[\frac{x^{2} y}{z}+2 y z+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+z^{2}+x y+y z\]
Hay
\[\frac{x^{2} y}{z}+y z+\frac{z^{2} x}{y} \geq x^{2}+z^{2}+x y\]
Tương đương với
\[\left(\frac{x^{2} y}{z}-x^{2}\right)+\left(y z-z^{2}\right)+\left(\frac{z^{2} x}{y}-x y\right) \geq 0\]
Hay
\[(y-z)\left(\frac{x^{2}}{z}+z-\frac{x(y+z)}{y}\right) \geq 0\]
Bât đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng vì \(y \geq z\) và
\[\frac{x^{2}}{z}+z \geq 2 x \geq \frac{x(y+z)}{y}\]
Bài toán được chứng minh xong.
