Bài toán chi tiết

Bài 200

14-12-2024 | 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1085

Cách giải 1

Do \(x y z=1\), nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với

\[\frac{x^{4}}{x^{3} z+x z}+\frac{y^{4}}{y^{3} x+x y}+\frac{z^{4}}{z^{3} y+z y} \geq \frac{3}{2}\]

Theo bất đẳng thức BCS ta có

\[\frac{x^{4}}{x^{3} z+x z}+\frac{y^{4}}{y^{3} x+x y}+\frac{z^{4}}{z^{3} y+z y} \geq \frac{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}{x^{3} z+x z+y^{3} x+x y+z^{3} y+z y}\]

Do vậy ta cần chứng minh

\[\begin{aligned}\frac{\left(x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}{x^{3} z+x z+y^{3} x+x y+z^{3} y+z y} \geq \frac{3}{2} & \Leftrightarrow 2\left(x^{4}+y^{4}+z^{4}\right)+4\left(x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}\right) \\& \geq 3\left(x^{3} z+y^{3} x+z^{3} y\right)+3(x y+y z+z x)\end{aligned}\]

Nhưng bất đẳng thức trên là tổng của 3 bất đẳng thức sau

\[\text { 1) } x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} \geq x y+y z+z x\]

Ta có \(x^{2} y^{2}+1 \geq 2 x y\), tương tự ta có

\[\begin{gathered}x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2}+3 \geq 2(x y+y z+z x) \geq x y+y z+z x+3 \Leftrightarrow x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} \geq x y+y z+z x \\\text { 2) } x^{4}+y^{4}+z^{4} \geq x^{3} z+y^{3} x+z^{3} y\end{gathered}\]

Bất đẳng thức này được chứng minh như sau

\[x^{4}+x^{4}+x^{4}+z^{4} \geq 4 x^{3} z\]

Thiết lập các biểu thức tương tự rồi công lại ta có đpcm.

\[\text { 3) } x^{4}+y^{4}+z^{4}+x^{2} y^{2}+y^{2} z^{2}+z^{2} x^{2} \geq 2\left(x^{3} z+y^{3} x+z^{3} y\right)\]

Ta có, bất đẳng thực trên tương đương với:

\[x^{2}(x-z)^{2}+y^{2}(y-x)^{2}+z^{2}(z-y)^{2} \geq 0\]

Hiển nhiên đúng.

Nhân 3 ở bất đẳng thức đầu tiên rồi cộng vế theo vế các bất đẳng thức ở phía dưới ta có điều phải chứng minh. Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=1\). Bài toán được chứng minh xong.

Cách giải 2

Thoạt nhìn biểu thức \(\dfrac{x^{4} y}{x^{2}+1}\), có lẽ ai cũng muốn đánh giá \(x^{2}+1 \geq 2 x\), tuy nhiên như vậy bất đẳng thức sẽ bị đảo chiều. Chính điều này gợi cho ta ý tưởng sử dụng kĩ thuật AM-GM ngược dấu.

Thật vậy, để ý rằng

\[\frac{x^{4} y}{x^{2}+1}=x^{2} y-\frac{x^{2} y}{x^{2}+1} \geq x^{2} y-\frac{x^{2} y}{2 x}=x^{2} y-\frac{x y}{2}\]

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại, ta thu được

\[\frac{x^{4} y}{x^{2}+1}+\frac{y^{4} z}{y^{2}+1}+\frac{z^{4} x}{z^{2}+1} \geq x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x-\frac{x y+y z+z x}{2}\]

Từ đó, ta sẽ thử chứng minh bất đẳng thức mạnh hơn là

\[x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x-\frac{x y+y z+z x}{2} \geq \frac{3}{2}\]

Hay

\[2\left(x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x\right) \geq x y+y z+z x+3\]

Sử dụng bất đẳng thức AM-GM bộ ba số dạng \(a+b+c \geq 3 \sqrt[3]{a b c}\), dễ thấy

\[x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x \geq 3 \cdot \sqrt[3]{x^{2} y \cdot y^{2} z \cdot z^{2} x}=3 x y z=3\]

Vậy chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được

\[x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x \geq x y+y z+z x\]

Một lần nữa, sử dụng bất đẳng thức AM-GM bộ ba số kết hợp với giả thiết \(x y z=1\), ta có

\[x^{2} y+x^{2} y+y^{2} z \geq 3 \cdot \sqrt[3]{x^{2} y \cdot x^{2} y \cdot y^{2} z}=3 \cdot \sqrt[3]{x^{4} y^{4} z}=3 x y\]

Thiết lập hai bất đẳng thức tương tự và cộng lại theo vế, ta thu được

\[3\left(x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x\right) \geq 3(x y+y z+z x)\]

Hay

\[x^{2} y+y^{2} z+z^{2} x \geq x y+y z+z x\]

Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=1\). Bài toán được chứng minh xong.