Bài toán chi tiết
Bài 232 (Đề thi HSG toán 9 Thanh Hóa 2024 - 2025)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1093
BẢN INCho \(x, y, z\) là các số thực dương thỏa mãn: \(x y z(x+y+z)=3\). Chứng minh rằng:
\[ x^2+y^2+z^2 \leq \frac{1}{243}\left(x^5-2 x+4\right)^2\left(y^5-2 y+4\right)^2\left(z^5-2 z+4\right)^2 \]
Cách giải 1
Ta có:
\[ 3(x^2+y^2+z^2) = xyz(x+y+z)(x^2+y^2+z^2) \leq \frac{1}{3}(xy+yz+zx)^2(x^2+y^2+z^2)\]
\[ \leq \frac{1}{3} . \frac{1}{27} [(xy+yz+zx)+(xy+yz+zx)+x^2+y^2+z^2]^3 \]
Nên \(x^2+y^2+y^2 \leq \dfrac{1}{243}(x+y+z)^6 \tag{*} \)
Lại có:
\[ (x^5-2x+4) -(x^3+2) = (x-1)^2(x^3+2x^2+2x+2) \geq 0 \]
Nên
\[ (x^5-2x+4)(y^5-2y+4)(z^5-2z+4) \geq (x^3+2)(y^3+2)(z^3+2) \]
Ta có bổ đề: Với \(a,b,c \gt 0\) thì
\[ (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \geq 3(a+b+c)^2 \]
Áp dụng bổ đề ta có:
\[ (x^3+2)(y^3+2)(z^3+2) \geq 3(x\sqrt{x} + y\sqrt{y} + z\sqrt{z})^2) \]
Mà \(3(x\sqrt{x} + y\sqrt{y} + z\sqrt{z})^2) \geq (x+y+z)^3 \)
Nên \((x^3+2)(y^3+2)(z^3+2) \geq (x+y+z)^3\). Vậy nên ta có:
\[ \frac{1}{243}(x^5-2x+4)(y^5-2y+4)(z^5-2z+4) \geq \frac{1}{243}(x+y+z)^6 \tag{**}\]
Từ (*) và (**) ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=1\)
Chứng minh bổ đề:
Ta có:
\[ (a+b+c)^2 = [a.1+\sqrt{2}.(\frac{b+c}{\sqrt{2}})^2] \leq (a^2+2)[1^2+\frac{(b+c)^2}{2}] \]
Suy ra:
\[ 3(a+b+c)^2 \leq 3(a^2+2)[1^2+\frac{(b+c)^2}{2}] \]
Ta đi chứng minh:
\[ 3(a^2+2)[1^2+\frac{(b+c)^2}{2}] \leq (a^2+2)(b^2+2)(c^2+2) \leftrightarrow 3[1^2+\frac{(b+c)^2}{2}] \leq (b^2+2)(c^2+2)\]
Khai triển và rút gọn ta được:
\[\frac{b^2+c^2}{2}+b^2c^2-3bc+1\geq 0 \leftrightarrow b^2c^2 - 2bc + 1 \geq 0 \leftrightarrow (bc-1)^2 \geq \]
Do \(\dfrac{b^2+c^2}{2} \geq bc\).
