Bài toán chi tiết
Bài T5/507: Cho các số thực \( x \geq 0, y \geq 0, z \geq 0 \) thỏa mãn \( \max \{x, y, z\} \geq 1 \). Chứng minh rằng: \[ x^3 + y^3 + z^3 + (x + y + z - 1)^2 \geq 1 + 3xyz. \]
| 1 cách giải | KiênĐC
Không mất tính tổng quát có thể giả sử \( x = \max \{x, y, z\} \geq 1 \). Lưu ý \( x + y + z > 0 \) và sử dụng hệ thức quen thuộc \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z) \left( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \right) \] ta được bất đẳng thức phải chứng minh tương đương với: \[ (x + y + z) \left( x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx \right) + (x + y + z)^2 - 2(x + y + z) \geq 0 \] \[ \Leftrightarrow (x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) + (x + y + z) - 2 \geq 0 \] (chia cả hai vế cho \( x + y + z \)) \[ \Leftrightarrow (x^2 + y^2 + 1 - 2xy - 2x + 2y) + (x^2 + z^2 + 1 - 2xz - 2x + 2z) + (y^2 + z^2 - 2yz) + 6x - 6 \geq 0 \] (nhân cả hai vế với 2) \[ \Leftrightarrow (x - y - 1)^2 + (x - z - 1)^2 + (y - z)^2 + 6(x - 1) \geq 0. \] Vế trái là tổng của các số hạng không âm, bất đẳng thức này đúng. Bất đẳng thức trong đầu bài được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \( x = 1, y = 0, z = 0 \) và các hoán vị của chúng. Nhận xét. Điều then chốt của lời giải là giả sử \( x = \max \{x, y, z\} \geq 1 \) và sử dụng hệ thức: \[ x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx). \] Bạn đọc có thể dễ dàng chứng minh đẳng thức trong bài trên bằng cách sử dụng hằng đẳng thức \[ x^3 + y^3 = (x + y)^3 - 3xy(x + y). \]
