Bài toán chi tiết
Bài 32 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 87
BẢN IN
Cách giải 1
Vì \(a, b, c > 0\) nên:
\[
a^2 + 2bc > 0, b^2 + 2ac > 0, c^2 + 2ab > 0.
\]
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}. \tag{1}
\]
Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:
\[
\frac{1}{a^2 + 2bc} + \frac{1}{b^2 + 2ac} + \frac{1}{c^2 + 2ab} \geq \frac{9}{a^2 + 2bc + b^2 + 2ac + c^2 + 2ab} = \frac{9}{(a + b + c)^2} = 9.
\]
Do \(a + b + c = 1\), điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\).
