Bài toán chi tiết
Bài 33 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 85
BẢN IN
Cách giải 1
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a+b+c}. \tag{1}
\]
Vì \(a, b, c > 0\), theo bất đẳng thức (1) ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{9}{2a + b}.
\]
Tương tự ta có:
\[
\frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{2b + c}.
\]
và
\[
\frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \geq \frac{9}{2c + a}.
\]
Cộng các bất đẳng thức lại theo vế ta có:
\[
\frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} +\frac{1}{c} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} \geq \frac{9}{2a + b} + \frac{9}{2b + c} + \frac{9}{2c + a}.
\]
\[
\Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 3(\frac{1}{2a + b} + \frac{1}{2b + c} + \frac{1}{2c + a}).
\]
Điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c\).
