Bài toán chi tiết

Bài 350 (Bài 6 - Số 259 tạp chí Toán tuổi thơ 08/2024)

17-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1089

Cách giải 1

Dễ thấy trong ba số \(a, b, c\) có không quá một số bằng 0 , giả sử \(c=\min \{a, b, c\}\) thì \(c \geq 0, a>0, b>0\).

Та có \(a^2+c^2=a^2+\dfrac{3 c^2}{4}+\dfrac{c^2}{4} \leq a^2+c^2+\dfrac{c^2}{4}\) \(\leq a^2+a c+\dfrac{c^2}{4}=\left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2\).

Tương tự ta cũng có \(b^2+c^2 \leq\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2\).

Hơn nữa \(a^2+b^2 \leq\left(a+\dfrac{c}{2}\right)^2+\left(b+\dfrac{c}{2}\right)^2\).

Đặt \(x=a+\dfrac{c}{2}, y=b+\dfrac{c}{2}\) thì \(x>0, y>0\) và \(x+y=a+b+c\)

Khi đó ta có \(P \geq \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{x^2}+\dfrac{1}{y^2}+\dfrac{4(x+y)}{25}\)

\[\begin{aligned}& \geq \dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{2}{x y}+\dfrac{4(x+y)}{25} \\& =\dfrac{1}{x^2+y^2}+\dfrac{1}{2 x y}+\dfrac{3}{2 x y}+\dfrac{4(x+y)}{25} \\& \geq \dfrac{4}{x^2+y^2+2 x y}+\dfrac{3}{2} \cdot \dfrac{4}{(x+y)^2}+\dfrac{4(x+y)}{25} \\& =\dfrac{10}{(x+y)^2}+\dfrac{4(x+y)}{25}=\dfrac{10}{(x+y)^2}+\dfrac{2(x+y)}{25}+\dfrac{2(x+y)}{25} \\& \geq 33 \sqrt{\dfrac{10}{(x+y)^2} \cdot \dfrac{2(x+y)}{25} \cdot \dfrac{2(x+y)}{25}}=\dfrac{6}{5}\end{aligned}\]

Dấu đẳng thức xảy ra khi

\(x=y, \dfrac{10}{(x+y)^2}=\dfrac{2(x+y)}{25} \Leftrightarrow x=y=\dfrac{5}{2}\), suy ra

\[\mathrm{a}=\mathrm{b}=\dfrac{5}{2}, \mathrm{c}=0\]

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(P\) là \(\dfrac{6}{5}\), đạt được tại \((a, b, c)=\left(\dfrac{5}{2}, \dfrac{5}{2}, 0\right)\) và các hoán vị.