Bài toán chi tiết
Bài 36 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 88
BẢN IN
Cách giải 1
Vì \(a, b, c > 0\) nên \(2a + b > 0; 2c + b > 0\).
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^2} \tag{**}
\]
Theo bất đẳng thức (**) ta có:
\[
\frac{1}{(2a + b)(2c + b)} \geq \frac{4}{(2a + b + 2c +b)^2} = \frac{4}{4(a+b+c)^2} = \frac{1}{(a+b+c)^2}
\]
Chứng minh tương tự ta có các bất đẳng thức sau:
\[
\frac{1}{(2b + c)(2a + c)} \geq \frac{1}{(a+b+c)^2}
\]
và
\[
\frac{1}{(2c + a)(2b + a)} \geq \frac{1}{(a+b+c)^2}
\]
Cộng các bất đẳng thức lại theo vế ta có điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(a=b=c\)
