Bài toán chi tiết
Bài 39 (Tạp chí Toán học và tuổi trẻ số 564 tháng 06/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 105
BẢN IN
Cách giải 1
Vì \(a, b, c > 0\) là độ dài ba cạnh của một tam giác nên theo BĐT tam giác ta có:
\[
a + b > c, a + c > b, b + c > a.
\]
Ta có bất đẳng thức
\[
\frac{1}{xy} \geq \frac{4}{(x + y)^2} \tag{**}
\]
Áp dụng BĐT (**), ta được:
\[
\frac{(a + b)^2}{a + b - c} = \frac{c(a + b)^2}{c(a + b - c)} \geq c(a+b)^2 \frac{4}{(c+a+b-c)^2} = 4c
\]
Tương tự,
\[
\frac{(b + c)^2}{b + c - a} \geq 4a
\]
và
\[
\frac{(c + a)^2}{c + a - b} \geq 4b
\]
Cộng theo vế các BĐT trên, ta có:
\[
\frac{(a + b)^2}{a + b - c} + \frac{(b + c)^2}{b + c - a} + \frac{(c + a)^2}{c + a - b} \geq 4(a + b + c).
\]
Điều phải chứng minh
