Bài toán chi tiết
Với \( a, b, c \) là các số thực không âm. Chứng minh rằng: \[ 3 \left( a^2 - a + 1 \right) \left( b^2 - b + 1 \right) \left( c^2 - c + 1 \right) \geq 1 + abc + a^2 b^2 c^2. \]
| 2 cách giải | KiênĐC
Cách 1. Áp dụng kết quả bài toán mở đầu, ta có: \[ a^2 + 1 \geq \sqrt{2} \cdot 1 + \frac{\sqrt{a^4 + 1}}{2} \Rightarrow \sqrt{2 \left( a^2 - a + 1 \right)} \geq \sqrt{a^4 + 1}. \] Tương tự cho \( b \) và nhân theo vế, ta được: \[ 2 \left( a^2 - a + 1 \right) \left( b^2 - b + 1 \right) \geq \sqrt{\left( 1 + a^4 \right) \left( 1 + b^4 \right)} \geq 1 + a^2 b^2. \] Như vậy, ta cần có: \[ 3 \left( 1 + a^2 b^2 \right) (1 - c + c^2) \geq 2 \left( 1 + abc + a^2 b^2 c^2 \right) \] \[ \Leftrightarrow (3 + a^2 b^2) c^2 - (3a^2 b^2 + 2ab + 3)c + 1 + 3a^2 b^2 \geq 0 \] \[ \Leftrightarrow 4 (3 + a^2 b^2) c^2 - 4 (3 + a^2 b^2) (3a^2 b^2 + 2ab + 3)c + 4 (1 + 3a^2 b^2) (3 + a^2 b^2) \geq 0 \] \[ \Leftrightarrow 2 \left( a^2 b^2 + 3 \right) c - \left(3a^2 b^2 + 2ab + 3) \right) + 4 (1 + 3a^2 b^2) (3 + a^2 b^2) \geq 0 \] Bài toán được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \( a = b = c = 1 \).
Cách 2. Áp dụng kết quả bài toán mở đầu như cách 1, ta được \[ \sqrt{2 \left( a^2 - a + 1 \right)} \geq \sqrt{a^4 + 1}. \] Với cách 1, ta chỉ áp dụng cho \( a, b \) điều này làm cho các biểu thức trong vế trái không còn hình dạng tương tự nhau. Điều này ít nhiều làm cho đoạn chứng minh còn lại trở nên khó hơn về mặt tính toán. Một suy nghĩ khá tự nhiên lúc này là ta nên áp dụng kết quả bạn đầu cho cả \( a, b, c \) và hy vọng đánh giá này vẫn còn đủ mạnh để chứng minh bài toán. Ta có: \[ 8 \left[ (a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)(c^2 - c + 1) \right]^2 \geq \left( 1 + a^4 \right) (1 + b^4)(1 + c^4). \] Vậy nên, ta chỉ cần chứng minh: \[ 9 \left( 1 + a^4 \right) (1 + b^4) (1 + c^4) \geq 8 (1 + abc + a^2 b^2 c^2)^2. \] Ta sử dụng đánh giá: \[ 9 \left( a^4 + 1 \right) \geq (a^6 + a^3 + 1)^2 \] \[ \Rightarrow (a - 1) \left( a^8 + 4a^7 + 10a^6 + 4a^5 - 2a^4 + 4a^3 + 10a^2 + 4a + 1 \right) \geq 0. \] Ta được: \[ 9 \left( 1 + a^4 \right) (1 + b^4) (1 + c^4) \geq 8^3 \left( (a^6 + a^3 + 1)(b^6 + b^3 + 1)(c^6 + c^3 + 1) \right)^2 \] Theo BĐT Holder, ta được: \[ (a^6 + a^3 + 1)(b^6 + b^3 + 1)(c^6 + c^3 + 1) \geq (a^2 b^2 c^2 + abc + 1)^3. \] Từ đó bài toán được chứng minh. Nhận xét. Với cách làm như trên, ta có lời giải cho bài toán sau: Với \(a, b, c\) là các số thực không âm. Chứng minh rằng: \[ (a^2 - a + 1)(b^2 - b + 1)(c^2 - c + 1)(d^2 - d + 1) \geq \left(1 + \frac{abcd}{2}\right)^2. \] 3. Kết luận. Trên đây là một số bài toán áp dụng từ một bài toán nhỏ. Chắc hẳn sẽ còn rất nhiều ứng dụng khác, phần này người viết rất mong nhận trao đổi từ bạn đọc. Qua các bài toán trên, người viết mong muốn (với bạn đọc là học sinh) hãy nghiên ngẫm thật lâu, kỹ cho mỗi bài toán mình làm. Qua đó thấy được những ý tưởng bạn chưa sâu lắng rõ (sẽ có nhiều điều hãy để học và trải nghiệm để rút kinh nghiệm) và hơn thế là biến kiến thức bài toán mang đến trở thành kiến thức của riêng mình để áp dụng. Đừng chỉ trông cậy vào con đường làm toán mà nhiều người vẽ nên.
