Bài toán chi tiết
Bài 45 (Đề thi HSG Bắc Ninh 2024-2025 Tham khảo)
| 2 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 96
BẢN IN
Cách giải 1
Ta có:
\[
ab + bc + ca = 2abc
\Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 2
\]
Đặt \(\frac{1}{a} = x, \frac{1}{b} = y, \frac{1}{c} = z\) ta có \(x+y+x=2\). Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\[
\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2} +\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2}+\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2} \geq \frac{1}{2}.
\]
\[
\Leftrightarrow \frac{x^3}{(2-x)^2} +\frac{y^3}{(2-y)^2}+\frac{z^3}{(2-z)^2} \geq \frac{1}{2}.
\]
Ta có bất đẳng thức phụ như sau:
\[
\frac{x^3}{(2-x)^2} \geq x - \frac{1}{2}.
\]
Chứng minh, bất đẳng thức phụ tương đương:
\[
\Leftrightarrow 2x^3 - (2x-1)(2-x)^2 \geq 0 \Leftrightarrow 9x^2 - 12x + 4 \geq 0 \Leftrightarrow (3x-2)^2 \geq 0
\]
Bất đẳng thức này luôn đúng, dấu bằng xảy ra khi \(x=\frac{2}{3}\). Áp dụng bất đẳng thức này ta có:
\[
\frac{x^3}{(2-x)^2} \geq x - \frac{1}{2}.
\]
\[
\frac{y^3}{(2-y)^2} \geq y - \frac{1}{2}.
\]
\[
\frac{z^3}{(2-z)^2} \geq z - \frac{1}{2}.
\]
Cộng các bất đẳng thức này theo vế ta có:
\[
\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2} +\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2}+\frac{x}{(\frac{2}{x}-1)^2} \geq x + y + z - \frac{3}{2} = 2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\).
Cách giải 2
Ta có:
\[
ab + bc + ca = 2abc
\iff ab + ca = bc(2a - 1)
\iff 2a - 1 = \frac{a}{c} + \frac{a}{b} = a (\frac{1}{c} + \frac{1}{b})
\]
Vậy ta có:
\[
\frac{1}{a(2a - 1)^2} = \frac{1}{a \cdot a^2 \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{b} \right)^2}
= \frac{1}{a^3 \left( \frac{1}{c} + \frac{1}{b} \right)^2}.
\]
Đặt \(\frac{1}{a} = x, \; \frac{1}{b} = y, \; \frac{1}{c} = z\) ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\[
P = \frac{x^3}{(y+z)^2} + \frac{y^3}{(z+x)^2} + \frac{z^3}{(x+y)^2} \geq \frac{1}{2},
\]
Với \(x + y + z = 2\). Theo bất đẳng thức Cauchy, ta có:
\[
\frac{x^3}{(y+z)^2} + \frac{y+z}{8} + \frac{y+z}{8} \geq \frac{3x}{4}
\implies \frac{x^3}{(y+z)^2} \geq \frac{3x}{4} - \frac{y+z}{4}.
\]
Tương tự ta có:
\[
\frac{y^3}{(z+x)^2} \geq \frac{3y}{4} - \frac{z+x}{4},
\quad \text{và} \quad \frac{z^3}{(x+y)^2} \geq \frac{3z}{4} - \frac{x+y}{4}.
\]
Cộng các bất đẳng thức trên, theo vế ta có:
\[
P \geq \frac{x + y + z}{4} + \frac{3}{4} = \frac{2}{4} + \frac{3}{4} = \frac{1}{2}.
\]
Điều phải chứng minh, dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\frac{2}{3}\) hay \(a=b=c=\frac{3}{2}\).
