Bài toán chi tiết
Bài 47
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 96
BẢN IN
Cách giải 1
Đặt \(a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2\) với \(t \in [0; 1]\), thì \(ab + bc + ca = 3 - 3t^2\). Kết hợp với \(a + b + c = 3\), bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[
\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \geq a^2 + b^2 + c^2 \Leftrightarrow (ab + bc + ca)^2 \geq 2a^2b^2c^2(a^2 + b^2 + c^2) + 6abc.
\]
Do đó, ta cần chứng minh tương đương:
\[
(3-3t^2)^2 \geq a^2b^2c^2(3+6t^2) + abc
\]
Theo bổ đề chặn tích ta có:
\[
abc \leq (1 - t)^2(1 + 2t).
\]
Nên ta có
\[
a^2b^2c^2(3+6t^2) + abc \leq (1+t)^4(1-2t)^2(3+6t^2)+6(1 - t)^2(1 + 2t).
\]
Do đó cần chứng minh
\[
(1+t)^4(1-2t)^2(3+6t^2)+6(1 - t)^2(1 + 2t) \leq (3-3t^2)^2 \Leftrightarrow 6(1-t)^2t^2(4t^4-4t^3-t^2-2) \leq 0
\]
Đúng do \(t \in [0; 1]\). Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(t = 0\) hay \(a = b = c = 1\).
Tham khảo: Bổ đề chặn tích trong chứng minh bất đẳng thức
