Bài toán chi tiết
Bài 48
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 109
BẢN IN
Cách giải 1
Đặt \(a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2\) với \(t \in [0; 1]\), thì \(ab + bc + ca = 3 - 3t^2\). Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\[
\frac{8(ab + bc + ca)}{abc} + 9 \geq 10(a^2 + b^2 + c^2) \Leftrightarrow \frac{24(1 - t^2)}{abc} + 9 \geq 30(1 + 2t^2) \Leftrightarrow \frac{8(1 - t^2)}{abc} + 3 \geq 10(1 + 2t^2)
\]
Theo bổ đề chặn tích ta có:
\[
abc \leq (1 - t)^2(1 + 2t).
\]
Nên ta có
\[
\frac{8(1 - t^2)}{abc} + 3 \geq \frac{8(1 - t^2)}{(1 - t)^2(1 + 2t)} = \frac{8(1 + t)}{(1 - t)(1 + 2t)}
\]
Bất đẳng thức này tương đương:
\[
\frac{8(1 + t)}{(1 - t)(1 + 2t)} + 3 \geq 10(1 + 2t^2) \Leftrightarrow (2t-1)^2(10t^2+5t+1) \geq 0
\]
Đúng do \(t \in [0; 1]\). Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(t = 0\) hoặc \(t=\frac{1}{2}\) hay \(a = 2, b = c = \frac{1}{2} \) và các hoán vị.
Tham khảo: Bổ đề chặn tích trong chứng minh bất đẳng thức
