Bài toán chi tiết
Bài 49
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 103
BẢN IN
Cách giải 1
Ta có
\[
\sum \frac{a^2}{a+2} = \frac{a^2(b+2)(c+2)}{(a+2)(b+2)(c+2)} = \frac{4a^2+a^2bc+2a^2b+2a^2c}{(a+2)(b+2)(c+2)}.
\]
\[
= \frac{4(a^2+b^2+c^2)+abc(a+b+c) +2ab(a+b) + 2bc(b+c) + 2ca(c+a)}{8+4(a+b+c) +2(ab+bc+ca) + abc}.
\]
Ta có
\[
2ab(a+b) = 2ab(3-c) = 6ab - 2abc
\]
Nên
\[
\sum \frac{a^2}{a+2} = \frac{4(a^2+b^2+c^2)+6(ab+bc+ca) - 3abc}{20 +2(ab+bc+ca) + abc}.
\]
Đặt \(a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2\) và \(ab + bc + ca = 3 - 3t^2\), bất đẳng thức trở thành:
\[
\frac{4(3+6t^2) + 6(3-3t^2) -3abc}{20 + 2(3-3t^2) + abc} \leq \frac{3}{3-3t^2}.
\]
Theo bất đẳng thức (3) ta có:
\[
abc \geq (1 + t)^2(1 - 2t).
\]
Nên bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\[
\frac{4(3+6t^2) + 6(3-3t^2) -3(1 + t)^2(1 - 2t)}{20 + 2(3-3t^2) + (1 + t)^2(1 - 2t)} \leq \frac{3}{3-3t^2}.
\]
Khai triển và thu gọn ta được bất đẳng thức tương đương
\[
t^5 + 15t^4 - 8t^3 + 3t^2 \leq 0 \Leftrightarrow t^2(t+3)(6t^2-3t+1) \leq 0
\]
Đúng do \(t \in [0; 1]\). Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(t = 0\) hay \(a = b = c = 1\).
Tham khảo: Bổ đề chặn tích trong chứng minh bất đẳng thức
