Bài toán chi tiết
Cho các số thực không âm \(a, b, c\) thỏa mãn \(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} = 4\). Chứng minh rằng: a) \(0 \leq a, b, c \leq 3\) b) \(a + b + c \leq 3\)
| 1 cách giải | KiênĐC
a) Từ giả thiết \(\Rightarrow a, b, c \geq 0\). \[\Rightarrow \sqrt{b+1} \geq 1, \quad \sqrt{c+1} \geq 1\] \[\Rightarrow \sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} = 4\] \[\Rightarrow \sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} \geq 4 \Rightarrow \sqrt{a+1} + 1 + 1 \leq 4\] \[\Rightarrow 2 \geq \sqrt{a+1} \Rightarrow a \leq 3\] Do đó \(0 \leq a \leq 3\). Tương tự \(0 \leq b, c \leq 3\). b) Ta có \(0 \leq a, b, c \leq 3\) \[\Rightarrow 1 \leq \sqrt{a+1} \leq 2\] \[\Rightarrow 1 \leq \sqrt{b+1} \leq 2\] \[\Rightarrow 1 \leq \sqrt{c+1} \leq 2\] \[\Rightarrow \begin{cases} (a+1)(a+1-2) \leq 0 \\ (b+1)(b+1-2) \leq 0 \\ (c+1)(c+1-2) \leq 0 \end{cases}\] \[\Rightarrow a+1 \leq 3\sqrt{a+1}-2\] \[\Rightarrow b+1 \leq 3\sqrt{b+1}-2\] \[\Rightarrow c+1 \leq 3\sqrt{c+1}-2\] \[\Rightarrow a+b+c \leq 3(\sqrt{a+1} + \sqrt{b+1} + \sqrt{c+1} -9 = 3\cdot4-9=3.\]
