Bài toán chi tiết
Bài 50
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 104
BẢN IN
Cách giải 1
Khi thay \((a;b;c)\) bởi \((ma;mb;mc)\) thì bất đẳng thức không đổi nên không mất tính tổng quát giả sử \(a+b+c=3\). Đặt \(a^2 + b^2 + c^2 = 3 + 6t^2\) và \(ab + bc + ca = 3 - 3t^2\). Ta lại có:
\[
(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc=3(3-3t^2) - abc
\]
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương
\[
\frac{3 + 6t^2}{3 - 3t^2} + \frac{8abc}{3(3-3t^2)-abc} \geq 2
\]
Mà theo bổ đề chặn tích ta có: \(abc \geq (1 + t)^2(1 - 2t)\). Nên BĐT cần chứng minh tương đương:
\[
\frac{3 + 6t^2}{3 - 3t^2} + \frac{8(1 + t)^2(1 - 2t)}{3(3-3t^2)-(1 + t)^2(1 - 2t)} \geq 2 \Leftrightarrow 3t^2(2t-1)^2 \geq 0
\]
Đúng do \(t \in [0; 1]\). Vậy ta có điều phải chứng minh, dấu "=" xảy ra khi \(t = 0\) hoặc \(t=\frac{1}{2}\) hay \(a = 2, b = c = \frac{1}{2} \) và các hoán vị.
Tham khảo: Bổ đề chặn tích trong chứng minh bất đẳng thức
