Bài toán chi tiết
Bài 68 (Đề thi HSG toán 9 Hải Dương 2024 - 2025)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 1 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 85
BẢN IN
Cách giải 1
Ta có
\[
\frac{1}{a^2+b c+2} \leqslant \frac{1}{a^2+\frac{1}{a}+2}=\frac{a}{a^3+2 a+1}
\]
Ta sẽ chứng minh \(a^3+2 a+1 \geqslant a^2+3 a\)
Hay \(a^3-a^2-a+1 \geqslant 0\) hay \((a-1) \cdot\left(a^2-1\right) \geqslant 0\) hay. \((a+1) \cdot(a-1)^2 \geqslant 0\)
Đúng nên
\[
\frac{1}{a^2+b c+2} \leq \frac{a}{a^2+3 a}=\frac{1}{a+3}
\]
Tương tự
\[
\frac{1}{b^2+c a+2} \leqslant \frac{b}{b^2+3 b}=\frac{1}{b+3}
\]
\[
\frac{1}{a b\left(c^3+1\right)+2} \leqslant \frac{1}{c^2+a b+2} \leq \frac{c}{c^2+3 c}=\frac{1}{c+3}
\]
Nên
\[
P \leqslant \frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \cdot
\]
Cần chứng minh
\[
\frac{1}{a+3}+\frac{1}{b+3}+\frac{1}{c+3} \leq \frac{3}{4}
\]
Hay \(4[(a+3)(b+3)+(b+3)(c+3)+(c+3)(a+3)] \notin\)
\[
\leqslant 3(a+3)(b+3)(c+3)
\]
Hay \(27 \leqslant 3 a b c+5(a b+b c+c a)+3(a+b+c)\)
Thật vậy
\[
\begin{aligned}
& 3 a b c \geqslant 3 \\
& 5(a b+b c+c a) \geqslant 5,3 \sqrt[3]{a b b c c a} \geqslant \\
& 3(a+b+c) \geqslant 9 \sqrt[3]{a b c} \geqslant 9
\end{aligned}
\]
Nên (*) đúng.
GTLN của \(P=\frac{3}{4}\) khi \(a=b=c=1\).
