Bài toán chi tiết
Bài 853 (Đề thi HSG toán 9 Thái Bình 2024 - 2025)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1091
BẢN INCho ba số dương \(a, b, c\) thỏa mãn \(a+b+c=1\) và \(a+b>c ; a+c>b ; b+c>a\).
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(M=\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{a}{2 b c}+\dfrac{b}{2 c a}+\dfrac{c}{2 a b}-\dfrac{1}{2 a b c}\).
Cách giải 1
Ta có \(1=a+b+c>a+a=2 a\) nên \(0<a<\dfrac{1}{2}\), tương tự \(a<b, c<\dfrac{1}{2}\). Lại có \(M=\dfrac{4}{a+b}+\dfrac{4}{b+c}+\dfrac{4}{c+a}+\dfrac{a^2+b^2+c^2-(a+b+c)^2}{2 a b c}\)
\[M=\left(\dfrac{4}{1-a}-\dfrac{1}{a}\right)+\left(\dfrac{4}{1-b}-\dfrac{1}{b}\right)+\left(\dfrac{4}{1-c}-\dfrac{1}{c}\right)\]
Bổ đề: \(\dfrac{4}{1-a}-\dfrac{1}{a} \leqslant 6(3 a-1)+3\) với \(0<a<\dfrac{1}{2}\)
\[\dfrac{5 a-1}{a(1-a)}-3 \leqslant 6(3 a-1) \leftrightarrow (3 a-1)\left[6-\dfrac{a+1}{a(1-a)}\right] \geqslant 0\]
Hay \(\dfrac{(3 a-1)^2(1-2 a)}{a(1-a)} \geqslant 0\). Đúng nên (1) đúng, tương tự: \(\dfrac{4}{1-b}-\dfrac{1}{b} \leqslant 6(3 b-1)+3\) (2)
\[\dfrac{4}{1-c}-\dfrac{1}{c} \leqslant 6(3 c-1)+3\]
Cộng các bất đẳng thức (1) (2) và (3) theo vế ta có \(M \leq 9\). Vậy giá trị lớn nhất của \(M=9\), có được khi \(a=b=c=\dfrac{1}{3}\).
