Bài toán chi tiết
Bài 857 (Nguyễn Văn Hòa)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1088
BẢN INCho \(a, b, c\) là các số thực dương thỏa mãn \(a b c=1\). Chứng minh rằng:
\[\dfrac{1}{\sqrt{5+4a}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4b}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4c}} \leq 1\]
Cách giải 1
Ta có bổ đề:
Với \(x, y \gt 0\) và \(x y \leq 1\) ta có bất đẳng thức
\[\dfrac{1}{\sqrt{5+4 x^2}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4 y^2}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{5+4 x y}}\]
Thật vậy, bình phương hai vế và áp dụng bất đẳng thức AM-GM thì bất đẳng thức trên tương đương:
\[\dfrac{1}{5+4 x^2}+\dfrac{1}{5+4 y^2} \leq \dfrac{2}{5+4 x y} \Leftrightarrow \dfrac{5(x-y)^2(5-4 x y)}{\left(5+4 x^2\right)\left(5+4 y^2\right)(5+4 x y)} \geq 0\]
Bất đẳng thức đúng nên ta có bổ đề được chứng minh.
Với \(a b c=1\), không mất tính tổng quát giả sử \(b c \leq 1, a \geq 1\). Đặt \(x=\sqrt{b c} \rightarrow a=\dfrac{1}{x^2}\)
Sử dụng bổ đề trên ta có:
\(\dfrac{1}{\sqrt{5+4 \mathrm{a}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4 \mathrm{~b}}}+\dfrac{1}{\sqrt{5+4 \mathrm{c}}} \leq \dfrac{2}{\sqrt{5+4 \mathrm{x}}}+\dfrac{\mathrm{x}}{\sqrt{5 \mathrm{x}^2+4}}=\mathrm{f}(\mathrm{x})\) khi \(0<\mathrm{x} \leq 1\)
\(\mathrm{f}^{\prime}(\mathrm{x})=4 \dfrac{(5+4 \mathrm{x})^{3 / 2}-\left(5 \mathrm{x}^2+4\right)^{3 / 2}}{(5+4 \mathrm{x})^{3 / 2}\left(5 \mathrm{x}^2+4\right)^{3 / 2}} \geq 0\left[\right.\) Vì \(\left.5+4 x-\left(5 x^2+4\right)=(1-x)(1+5 x) \geq 0\right]\)
Do đó \(f(x)\) đồng biến trong khoảng \((0,1] \rightarrow f_{\max }=f(1)=1\), vậy ta có điều phải chứng minh. Dấu = xảy ra khi \(x=1 \Leftrightarrow a=b=c=1\).
