Bài toán chi tiết
Bài 866 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Hà Nội 2023 - 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1191
BẢN IN1. Tìm tất cả cặp số nguyên \((x, y)\) sao cho \(x y\) là số chính phuơng và \(x^2+x y+y^2\) là số nguyên tố.
2. Với các số thực không âm \(a, b\) và \(c\) thỏa mãn \(a+2 b+3 c=1\), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[P=(a+6 b+6 c)(a+b+c)\]
Cách giải 1
1. Đặt \(x y=a^2(a \in \mathbb{N})\). Suy ra:
\[\begin{aligned}x^2+x y+y^2 & =(x+y)^2-a^2 \\& =(x+y+a)(x+y-a)\end{aligned}\]
Do \(x y>0\) nên \(x\) và \(y\) cùng dấu.
+) Trường hợp 1 \(x \gt 0, y\gt 0 \Rightarrow x+y-a=1 \Rightarrow x+y=a+1\).
\[\Rightarrow(a+1)^2 \geq 4 a^2 \Rightarrow a=1\]
Tìm được \((x, y)=(1,1)\).
+) Trường hợp 2: \(x \lt 0, y \lt 0\). Tương tự trường hợp 1, tìm được:
\[(x, y)=(-1,-1)\]
Kết luận: \((x, y)=(1,1)\) hoặc \((x, y)=(-1,-1)\).
2) Theo bất đẳng thức Bunyakovsky, ta có:
\[\begin{aligned}\frac{3}{2} P & =\left(\frac{3}{2} a+9 b+9 c\right)(a+b+c) \\& \geq\left(\sqrt{\frac{3}{2}} a+3 b+3 c\right)^2 \\& \geq(a+2 b+3 c)^2=1\end{aligned}\]
\(\Rightarrow P \geq \frac{2}{3}\). Suy ra \(\min P=\dfrac{2}{3}\).
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:
\[\begin{aligned}4 P & =(a+6 b+6 c)(4 a+4 b+4 c) \\& \leq \frac{(5 a+10 b+10 c)^2}{4} \\& \leq \frac{(5 a+10 b+15 c)^2}{4}\end{aligned}\]
\(\Rightarrow 4 P \leq \dfrac{25(a+2 b+3 c)^2}{4}=\dfrac{25}{4} \Rightarrow P \leq \dfrac{25}{16}\).
Mặt khác, khi \(a=\dfrac{1}{4} ; b=\dfrac{3}{8} ; c=0\) thì \(P=\dfrac{25}{16}\). Suy ra \(\max P=\dfrac{25}{16}\).
