Bài toán chi tiết

Bài 87 (Đề thi chọn Học sinh giỏi THCS Thành phố Lào Cai 2024 - 2025)

08-12-2024 | 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1088

Cách giải 1

1. Cách 1:

\[\left.\begin{array}{c}2\left(a^2+b^2\right) \geqslant 4 a b \\a^2+4 \geqslant 4 a \\b^2+4 \geqslant 4 b\end{array}\right\} \Rightarrow 3 P+8 \geqslant 4(a b+a+b)=4.8 \rightarrow \mathrm{P} \geq 8\]

Dấu bằng khi \(a=b=2\)

Cách 2:

Giả thiết \(\Rightarrow P+2 \sqrt{2} \sqrt{P}-16 \geqslant 0 \Rightarrow(\sqrt{P}-\sqrt{8})(\sqrt{P}+4 \sqrt{2}) \geqslant 0 \Rightarrow P \geq 8\)

Dấu bằng khi \(a=b=2\)

2. Giả thiết cho \(3 b c-a c-a b=1 \Leftrightarrow a c+a b+1=3 b c \Leftrightarrow \dfrac{a}{b}+\dfrac{a}{c}+\dfrac{1}{b c}=3\).

Đặt \(\dfrac{1}{b}=x, \dfrac{1}{c}=y\), ta có \(a x+a y+x y=3\)

\(\Rightarrow(a+x+y)^2 \geqslant 3(a x+a y+x y)=9 \Rightarrow a+x+y \geqslant 3\)

Lại có \(a^3+x^3+y^3=\left(a^3+2\right)+\left(x^3+2\right)+\left(y^3+2\right)-6 \geqslant 3(a+x+y)-6 \geqslant 3\)

\(\Rightarrow a^3+\dfrac{1}{b^3}+\dfrac{1}{c^3} \geqslant 3\) hay \(a^3 b^3 c^3+b^3+c^3 \geqslant 3 b^3 c^3\)

Cách 2:

Có \(3 b c=a c-a b-1 \Leftrightarrow 3=a d+a e+d e, d=\dfrac{1}{b}, e=\dfrac{1}{c}\)

Cần chứng minh: \(a^3+\dfrac{1}{c^3}+\dfrac{1}{b^3} \geq 3\)

Tương đương với \(a^3+d^3+\mathrm{e}^3 \geq 3\)

Ta có \(3 \leq \dfrac{a^3+d^3+1}{3}+\dfrac{a^3+e^3+1}{3}+\dfrac{d^3+e^3+1}{3} \rightarrow a^3+d^3+\mathrm{e}^3 \geq 3\).

Suy ra điều phải chứng minh