Bài toán chi tiết
Bài 936 (Thi thử Chuyên KHTN năm học 2025 - 2026 (Vòng 1))
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1176
BẢN IN1) Tim \(x, y\) nguyên thoả mãn
\[ x^3+2 y^3+2 x^2 y+y^2 x+x+2 y=3 \]
2) Với \(x, y, z\) là những số thực thoả mãn
\[ 0 \lt x \leq y \leq z \leq 3, \quad y+z \leq 5, \quad x+y+z \leq 6 \]
Chứng minh rằng
\[ x^2+y^2+z^2 \leq 14 \]
Cách giải 1
1) Phương trình đã cho tương đương với
\[ x^2(x+2 y)+y^2(x+2 y)+x+2 y=3 \rightarrow (x+2 y)\left(x^2+y^2+1\right)=3 \]
- Trường hợp 1
\[ \left\{\begin{array}{l}x+2 y=3 \\ x^2+y^2+1=1\end{array}\right.\]
Vô nghiệm
- Trường hợp 2
\[ \left\{\begin{array}{l}x+2 y=1 \rightarrow x=1-2 y \\ x^2+y^2+1=3 \rightarrow (1-2 y)^2+y^2=2\end{array}\right.\]
\[ \leftrightarrow 5 y^2-4 y-1=0 \rightarrow y=1, y=-\frac{1}{5}(\text { Loại }) \]
Vậy phương trình có nghiệm ( \(y=1, x=-1\) )
2) Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với
\[ x^2+y^2+z^2 \leq 1^2+2^3+3^2 \]
\[ \leftrightarrow (1-x)(1+x)+(2-y)(2+y)+(3-z)(3+z) \geq 0 \]
\[ \leftrightarrow \underbrace{(3-z)}_{\geq 0} \underbrace{[(3+z)-(2+y)]}_{\geq 0}+\underbrace{(5-y-z)}_{\geq 0} \underbrace{[(2+y)-(1+x)]}_{\geq 0}+\underbrace{(6-x-y-z)}_{\geq 0} \underbrace{(x+1) \geq 0}_{\geq 0} \]
Bất đẳng thức luôn đúng
