Bài toán chi tiết
Bài 940 (Thi thử Chuyên KHTN năm học 2025 - 2026 (Vòng 2))
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1177
BẢN IN1) Tìm \(x, y\) nguyên thỏa mān
\[ y=\dfrac{x+1}{x^4+1} \]
2) Với \(a, b, c\) là những số thực dương thỏa mãn \(a b+b c+c a=1\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ P=2 a^2+b^2+c^2 \]
Cách giải 1
1) Suy ra \(x^4+1\left|x+1 \rightarrow x^4+1\right|(x+1)(x-1)\left(x^2+1\right)=x^4-1\)
\[ \rightarrow x^4+1\left|\left(x^4+1\right)-2 \rightarrow x^4+1\right| 2 \rightarrow x^4+1 \in\{1,2\} \]
- \(x^4+1=1 \rightarrow x=0 \rightarrow y=1\)
- \(x^4+1=2 \rightarrow x=1, y=1\) hoăc \(x=-1, y=0\).
2) Ta có
\[ \begin{array}{r} \left\{\begin{array}{l} a^2+\alpha^2 b^2 \geq 2 \alpha a b \\ a^2+\alpha^2 c^2 \geq 2 \alpha a c \\ \alpha\left(b^2+c^2\right) \geq 2 \alpha b c \end{array}\right. \\ \rightarrow 2 a^2+\left(\alpha^2+\alpha\right)\left(b^2+c^2\right) \geq 2 \alpha(a b+b c+c a) \end{array} \]
(Đẳng thức xảy \(\mathrm{ra} \leftrightarrow b=c=\frac{1}{\alpha} a\) )
Chọn \(\alpha>0\) là nghiệm của phương trình
\[ \alpha^2+\alpha=1 \leftrightarrow \alpha^2+\alpha-1=0 \rightarrow \alpha=\frac{\sqrt{5}-1}{2} \]
Thay vào (1) ta thu được
\[ 2 a^2+b^2+c^2 \geq \sqrt{5}-1 \rightarrow P_{\text {min }}=\sqrt{5}-1 \quad \text { khi } b=c=\frac{2}{\sqrt{5}-1} a \]
