Bài toán chi tiết
Bài 99 (Thi tuyển sinh vào lớp 10 năm học 2022-2023 của tỉnh Thái Bình)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 95
BẢN INCho các số dương \(a, b, c\) thay đối và thóa mãn \(a+b+c=2022\). Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
\[ \begin{aligned} M=\sqrt{2 a^2+a b+2 b^2} & +\sqrt{2 b^2+b c+2 c^2} \\ & +\sqrt{2 c^2+c a+2 a^2} . \end{aligned} \]
Cách giải 1
Áp dụng: "Cho \(a,b,c,k,p \in \mathbb{R} \), khi đó:
\[ k a^2+p a b+k b^2=\frac{2 k+p}{4}(a+b)^2+\frac{2 k-p}{4}(a-b)^2 \]
Chú ý:
- Nếu \(2 k \gt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \geq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xày ra \(\Leftrightarrow a=b\).
- Nếu \(2 k \lt p \Rightarrow k a^2+p a b+k b^2 \leq \frac{2 k+p}{4}(a+b)^2\). Dấu đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)."
\[ \begin{aligned} \sqrt{2 a^2+a b+2 b^2} & =\sqrt{\frac{5}{4}(a+b)^2+\frac{3}{4}(a-b)^2} \\ & \geq \frac{\sqrt{5}}{2}(a+b) \end{aligned} \]
Tương tự:
\[ \sqrt{2 b^2+b c+2 c^2} \geq \frac{\sqrt{5}}{2}(b+c) \]
\[ \sqrt{2 c^2+c a+2 a^2} \geq \frac{\sqrt{5}}{2}(c+a) \]
Suy ra:
\[ \begin{aligned} M & \geq \frac{\sqrt{5}}{2}[(a+b)+(b+c)+(c+a)] \\ & =\sqrt{5}(a+b+c)=2022 \sqrt{5} . \end{aligned} \]
Dấu đẳng thức xảy \(\mathrm{ra} \Leftrightarrow a=b=c=674\). Vậy giá tri nhỏ nhất của \(M\) là \(2022 \sqrt{5}\) khi \(a=b=c=674\).
