Bài toán chi tiết
Bài 997 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2023 - Vòng 1)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1176
BẢN IN1) Giả sử \(n\) là số nguyên sao cho \(3 n^3-1011\) chia hết cho 1008 . Chứng minh rằng \(n-1\) chia hết cho 48.
2) Với \(a, b, c\) là các số dương thỏa mãn điều kiện \(a b+b c+c a=1\). Chứng minh rằng
\[ \left(1+\dfrac{1}{1+a^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+b^2}\right)\left(1+\dfrac{1}{1+c^2}\right)>4 \]
Cách giải 1
1. Ta có: \(3 n^3-1011=3\left(n^3-337\right)=1008 k\left(k \in N^*\right)\) nên \(n^3-337=336 k\), dẫn đến
\[ n^3-1=336(k+1) \]
hay
\[ (n-1)\left(n^2+n+1\right)=48 \cdot 7 k \]
Do \(n^2+n+1\) là số lẻ nên \(n^2+n+1\) không chia hết cho 16 .
Bởi vậy \(n-1\) chia hết cho 16 . (1)
Thêm nữa, nếu \(n \equiv 0 ; 2(\bmod 3) \Leftrightarrow n^2+n+1 \equiv 1(\bmod 3) \Rightarrow n-1: 3\)
Nếu \(n \equiv 1(\bmod 3) \Leftrightarrow n-1: 3\)
Vậy \(n-1: 3\) (2)
Từ \((1)\) và \((2) \Rightarrow\) ĐPCM.
2. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\[ \left(a^2+2\right)\left(b^2+2\right)\left(c^2+2\right)>4\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right) \]
Khai triển và rút gọn, BDT này tương đương với:
\[ 3 a^2 b^2 c^2+2\left(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2\right)<4 \]
Mặt khác, vì \(a b+b c+c a=1\), ta có:
- \(a^2 b^2+b^2 c^2+c^2 a^2<(a b+b c+c a)^2=1\).
- \(a^2 b^2 c^2 \leq \dfrac{(a b+b c+c a)^3}{27}=\dfrac{1}{27}\).
Do đó, \(V T_{(1)}<\dfrac{1}{9}+2<4\). Ta có điều cần chứng minh.
