Bài toán chi tiết
Bài 141 (CS Cheong - 11/12/2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 104
BẢN INCho \(a\) và \(b\) là hai nghiệm phương trình \(x^2-6x-2=0\) với \(a \gt b\). Cho dãy số \(u_n = a^n - b^n\) với \(n \geq 1\). Tính giá trị biểu thức:
\[ P = \frac{u_{10}-2u_{8}}{2u_{9}} \]
Cách giải 1
Do \(a\) và \(b\) là nghiệm phương trình \(x^2 - 6x - 2 =0\) nên ta có:
\( a^n - 6a^{n-1} -2a^{n-2} = 0\) và \( b^n - 6b^{n-1} -2b^{n-2} = 0\)
Lấy hai đẳng thức trừ đi nhau ta được:
\[ (a^n - b^n) - (6a^{n-1} - 6b^{n-1}) - (2a^{n-2} -2b^{n-2}) = 0 \leftrightarrow u_n -6u_{n-1} - 2u_{n-2} = 0\]
Do đó:
\[ P = \frac{u_{10}-2u_{8}}{2u_{9}} = \frac{a_{10} - 6a_9 -2a_8 +6a_9}{2a_9} = \frac{0+6a_9}{2a_9} = 3\]
Vậy \(P = 3\).
