Bài toán chi tiết
Bài 17 (Bài T7/565 Tạp chí Toán học và tuổi trẻ)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 4 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 77
BẢN IN
Cách giải 1
Lời giải của bạn Nguyễn Gia Vạn, 11A1, THCS, THPT Lê Thánh Tông, Q. Tân Phú, TP. Hồ Chí Minh. Điều kiện: \(x \neq 0\), \(y \neq 0\), \(x \neq y\). Khi đó ta có:
\[
\begin{cases}
4xy(x^2 - y^2) - \frac{1562x - 1563y}{x^2+y^2} =0 (1)\\
x^4 + 14x^2y^2 + y^4 - \frac{1563x + 1562y}{x^2 + y^2} = 0 (2)
\end{cases}
\]
Lấy (1) nhân với x cộng với (2) nhân với y, và sau đó lấy (2) nhân với x trừ đi (1) nhân với y, ta được:
\[
\begin{cases}
4x^2y(x^2 - y^2) - \frac{1562x^2 - 1563xy}{x^2+y^2} + x^4y + 14x^2y^3 + y^5 - \frac{1563xy + 1562y^2}{x^2 + y^2} =0\\
x^5 + 14x^3y^2 + xy^4 - \frac{1563x^2 + 1562xy}{x^2 + y^2} - 4xy^2(x^2 - y^2) - \frac{1562xy - 1563y^2}{x^2+y^2} = 0
\end{cases}
\]
Sau khi biến đổi và rút gọn:
\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
y^5 + 5x^4y + 10x^2y^3 - 1562 = 0 (3) \\
x^5 + 10x^3y^2 + 5xy^4 - 1563 = 0 (4)
\end{cases}
\]
Lấy (3) + (4) và (3) - (4) theo vế ta có
\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x^5 + y^5 + 5x^4y + 10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4 - 3125 = 0\\
y^5 - x^5 + 5x^4y - 10x^3y^2 - 10x^2y^3 - 5xy^4 + 1= 0
\end{cases}
\]
\[
\Leftrightarrow
\begin{cases}
(x+y)^5 = 3125\\
(y-x)^5= -1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x+y=5\\
y-x= -1
\end{cases}
\Leftrightarrow
\begin{cases}
x=3\\
y=2
\end{cases}
\]
Khi thay \(x = 3, y = 2\) ta thấy thỏa mãn hệ phương trình ban đầu, vậy hệ có nghiệm là \((x, y) = (3, 2)\)
