Bài 223 (Đề thi HSG toán 9 Thanh Hóa 2024 - 2025)

| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1118

BẢN IN

Rút gọn biểu thức:

\[A=\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}-a+b}\right) \cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^2-b^2}} \]

với \(a \gt b \gt 0\).

Cách giải 1

Ta có \(a \gt b \gt 0\) nên \(a-b \gt 0\) do đó \(\sqrt{a-b}\) tồn tại. Biến đổi biểu thức:

\[A=(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{a^2-b^2}-a+b}) \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^2-b^2}} \]

\[ = (\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{(a-b)(a+b)}-(a-b)}) \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{(a-b)(a+b)}} \]

\[ = (\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}) \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{(a-b)(a+b)}} \]

\[ = (\frac{1}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{1}{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b}}) \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a+b}} \]

Quy đồng bên trong ngoặc ta được:

\[A= \frac{\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b} +\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}{(\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b})(\sqrt{a+b}-\sqrt{a-b})} \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a+b}} \]

\[ = \frac{2\sqrt{a+b}}{a+b-(a-b)} \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a+b}} = \frac{2(a^{2}+b^{2})}{2b} = \frac{(a^{2}+b^{2})}{b} \]