Bài toán chi tiết
Bài 859 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Bắc Giang 2023 - 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1093
BẢN IN1. Rút gọn biểu thức
\[Q=\left(\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}+\dfrac{x-y}{\sqrt{x^2-y^2}-x+y}\right) \cdot \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}\]
với \(x \gt y \gt 0\).
2. Cho đường thẳng \(d\) có phương trình: \(y=(3 m+1) x-6 m-1\), \(m\) là tham số. Tìm \(m\) để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đuờng thẳng \(d\) là lớn nhất.
3. Tìm tất cả các giá trị của tham số \(m\) để phương trình
\[x^2-2(3 m-1) x+m^2-m-4=0\]
có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\) thỏa mãn
\[\left|x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2}\right|+\left|x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\right|=2008 .\]
Cách giải 1
1. Ta có:
\[Q=\left(\dfrac{\sqrt{x-y}}{\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y}}+\dfrac{\sqrt{(x-y)^2}}{\sqrt{(x+y)(x-y)}-\sqrt{(x-y)^2}}\right) \times \dfrac{x^2+y^2}{\sqrt{x^2-y^2}}\]
2. Dễ thấy đường thẳng \(d\) luôn đi qua điểm \(M(2 ; 1)\). Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \(O\) trên đường thẳng \(d\). Suy ra \(\mathrm{OH} \leq \mathrm{OM}, \forall m\).
Ta có đường thẳng \(O M\) có phương trình là: \(y=\dfrac{1}{2} x\). Do \(O M \perp d\) nên
\[\dfrac{1}{2}(3 m+1)=-1 \Leftrightarrow 3 m+1=-2 \Leftrightarrow m=-1\]
3. Phương trình \(x^2-2(3 m-1) x+m^2-m-4=0\) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi
\[\begin{aligned}\Delta^{\prime}>0 & \Leftrightarrow(3 m-1)^2-\left(m^2-m-4\right)>0 \\& \Leftrightarrow 8 m^2-5 m+5>0 \\& \Leftrightarrow 8\left(m-\dfrac{5}{16}\right)^2+\dfrac{135}{32}>0 ; \forall m \in \mathbb{R} .\end{aligned}\]
Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt \(x_1, x_2\). Theo định lý Viète, ta có:
\[\left\{\begin{array}{l}x_1+x_2=2(3 m-1) \\x_1 x_2=m^2-m-4\end{array}\right.\]
Đặt \(A=x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2} ; B=x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\).
Ta có: \(A . B=\left(x_1+x_2\right)^2-x_1 x_2 =\left(x_1+\dfrac{x_2}{2}\right)^2+\dfrac{3 x_2^2}{4}>0, \forall x_1, x_2 . \)
Suy ra \(A\) và \(B\) luôn cùng dấu, do đó:
\[|A|+|B|=|A+B| \]
Vì vậy:
\[\begin{aligned}& \left|x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2}\right|+\left|x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\right|=2008 \\\Leftrightarrow & \left|x_1+x_2+\sqrt{x_1 x_2}+x_1+x_2-\sqrt{x_1 x_2}\right|=2008 \\\Leftrightarrow & \left|x_1+x_2\right|=1004 \Leftrightarrow 2|3 m-1|=1004 \\\Leftrightarrow & |3 m-1|=502 \\\Leftrightarrow & {\left[\begin{array}{l}m=\dfrac{503}{3} . \\m=-167\end{array}\right.}\end{aligned}\]
