Bài toán chi tiết
Bài 864 (Đề thi vào 10 PTTH Chuyên toán Hà Nội 2023 - 2024)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 2 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1084
BẢN IN1. Giải phương trình: \(\sqrt{x-3}-\sqrt{2 x-7}=2 x-8\)
2. Cho \(a, b\) và \(c\) là các số thực khác 0 thỏa mãn điều kiện \(a^2-c^2=c, c^2-b^2=b\) và \(b^2-a^2=a\). Chứng minh \((a-b)(b-c)(c-a)=1\).
Cách giải 1
1. Điều kiện xác định: \(x \geq \dfrac{7}{2}\). Phương trình đã cho tương đương với:
\[(4-x)\left(\frac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{2 x-7}}+2\right)=0 \]
+) Trường hợp 1: \(4-x=0 \Leftrightarrow x=4\).
+) Trường hợp 2: \(\dfrac{1}{\sqrt{x-3}+\sqrt{2 x-7}}+2=0\) (vô nghiệm).
Kết hợp với điều kiện xác định phương trình ta có tập nghiệm của phương trình là \(S=\{4\}\).
2) Từ giả thiết, ta có:
\[a+b+c=a^2-c^2+c^2-b^2+b^2-a^2=0\]
Mặt khác: \(b^2-a^2=a\)
\[\begin{aligned}& \Leftrightarrow(a-b)(a+b)=-a \\& \Rightarrow(a-b) c=a .\end{aligned}\]
Tương tư: \((b-c) a=b,(c-a) b=c\).
\[\Rightarrow(a-b)(b-c)(c-a) a b c=a b c\]
Do \(a, b, c\) đều khác 0 , suy ra:
\[(a-b)(b-c)(c-a)=1\]
