Bài toán chi tiết
Bài 992 (Đề thi Chuyên toán lớp 10 KHTN năm học 2024 - Vòng 2)
| 1 cách giải | Unknow | Độ khó: 3 | Loại: Tự luận | Lượt xem: 1092
BẢN INa) Giải hệ phương trình
\[ \left\{\begin{array}{l} x^4+4 y^2-5 x^2 y^2=4 \\ (3 x+4 y-2)\left(x^2+2 y^2-3 x y\right)=4 \end{array}\right. \]
b) Giải phương trình
\[ \sqrt{x}+\sqrt{3-2 x}=1+\sqrt{2-x}+\frac{1}{3} \sqrt{x-1} \]
Cách giải 1
a) Phương trình thứ nhất của hệ có thể được viết lại thành
\[ (x+y)(x+2 y)\left(x^2+2 y^2-3 x y\right)=4 \]
Kết hợp với phương trình thứ hai của hệ, ta được
\[ (x+y)(x+2 y)=3 x+4 y-2=2(x+y)+(x+2 y)-2 \]
Từ đó \((x+2 y-2)(x+y-1)=0\). Xét các trường hợp, ta tìm được tất cả các nghiệm \((x, y)\) của hệ phương trình là \((0,1),\left(\dfrac{\sqrt{97}-1}{6}, \dfrac{13-\sqrt{97}}{12}\right),\left(\dfrac{-\sqrt{97}-1}{6}, \dfrac{13+\sqrt{97}}{12}\right)\).
b) Điều kiện: \(1 \leq x \leq \dfrac{3}{2}\). Phương trình đã cho tương đương với
\[ (\sqrt{x}-1)+(\sqrt{3-2 x}-\sqrt{2-x})=\dfrac{1}{3} \sqrt{x-1} \]
hay
\[ \dfrac{x-1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{x-1}{\sqrt{3-2 x}+\sqrt{2-x}}=\dfrac{1}{3} \sqrt{x-1} \]
Hiển nhiên \(x=1\) là nghiệm của phương trình. Xét trường hợp \(1
\[ \dfrac{1}{\sqrt{x}+1}-\dfrac{1}{\sqrt{3-2 x}+\sqrt{2-x}}=\dfrac{1}{3 \sqrt{x-1}} \]
Vì \(1\sqrt{3-2 x}\) và \(1>\sqrt{2-x}\), suy ra \(\sqrt{x}+1>\sqrt{3-2 x}+\sqrt{2-x}\). Như vậy \(\mathrm{VT}_{(1)}<0<\mathrm{VP}_{(1)}\). Ta suy ra phương trình (1) vô nghiệm. Vậy, phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x=1\).
Bình luận. Ngoài cách làm trên, ta cũng có cách làm khác cho ý b) như sau: Với điều kiện xác định \(1 \leq x \leq \dfrac{3}{2}\), ta có
\[ \begin{aligned} \sqrt{x}+\sqrt{3-2 x} & =\sqrt{3-x+2 \sqrt{3 x-2 x^2}}=\sqrt{3-x+2 \sqrt{2-x-2(x-1)^2}} \\ & \leq \sqrt{3-x+2 \sqrt{2-x}}=1+\sqrt{2-x} \end{aligned} \]
Vì thế \(\sqrt{x}+\sqrt{3-2 x} \leq 1+\sqrt{2-x} \leq 1+\sqrt{2-x}+\dfrac{1}{3} \sqrt{x-1}\). Tuy nhiên, theo đề bài thì dấu đẳng thức phải xảy ra, tức ta phải có \(x=1\).
